Estados estacionários

Na equação de Schrödinger

$$i\hbar\frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t}=\hat{H} \psi(\vec{r},t)$$ (39)

procuremos soluções da forma

$$\psi(\vec{r},t)=u(\vec{r})T(t) \;,$$ (40)

que são um produto de uma função só de $\vec{r}$ por uma função só de $t$. Explicitando a forma do hamiltoniano,

$$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\vec{\nabla}^2 + V(\vec{r})$$ (41)

reescrevemos a Eq.(39) assim:

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}u(\vec{r})T(t)= -\frac{\... ...}{2m}\vec{\nabla}^2 u(\vec{r})T(t) + V(\vec{r})u(\vec{r})T(t)$$ (42)

que pode ser reescrita:

$$i\hbar u(\vec{r})\frac{dT(t)}{dt}=-T(t)\frac{\hbar^2}{2m}\vec{\nabla}^2 u(\vec{r}) +V(\vec{r})u(\vec{r})T(t)$$ (43)

Dividindo por $u(\vec{r}) T(t)$, temos

$$i\hbar \frac{1}{T}\frac{dT}{dt}=-\frac{1}{u}\frac{\hbar^2}{2m}\vec{\nabla}^2u +V(\vec{r})$$ (44)

O primeiro membro não depende de $\vec{r}$, ou seja, só pode depender de $t$. Ele é igual ao segundo membro, que não pode depender de $t$. Logo, o primeiro membro não depende nem de $\vec{r}$ nem de $t$: não dpende então de nada: é constante. O segundo membro, por força da equação, é igual ao primeiro, e então também constante. Designemos esta constante por $E$. Teremos então

$$i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}=E$$ (45)

ou

$$\frac{dT}{T}=-\frac{i}{\hbar}Edt$$ (46)

que é integrada facilmente, dando

$$T(t)=Ke^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$ (47)

Logo,

$$\psi(\vec{r},t)=Ku(\vec{r})e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$ (48)

Note-se que

$$\hat{H}\psi(\vec{r},t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ps... ...t(Ku(\vec{r})e^{-\frac{i}{\hbar}Et}\right) =E\psi(\vec{r},t)$$

o que mostra duas coisas importantes:
1. Os $\psi(\vec{r},t)$ da forma $u(\vec{r})e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$ são autofunções do hamiltoniano.
2.$E$ é o autovalor do hamiltoniano, e, portanto, a energia do sistema, quando neste estado.

Estados da forma

$$\psi(\vec{r},t) = u(\vec{r})E^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$ (49)

são chamados estados estacionários. O nome é devido ao fato de que a densidade de probabilidade de posição, $\vert psi(\vec{r},t)\vert^2$, é independente do tempo, pois

$$\vert\psi(\vec{r},t)\vert^2=\left(u(\vec{r})e^{-\frac{i}{\h... ...(\vec{r}e^{-\frac{i}{\hbar}Et}\right)=\vert u(\vec{r})\vert^2$$ (50)

pois $\vert e^{-\frac{i}{\hbar}Et}\vert^2 =1$.

Os estados estacionários são extremamente importantes na descrição quântica da natureza, não só por representarem os estados que têm energia definida, mas também porque o conjnto dos autoestados do hamiltoniano, que são os estados estacionários, é completo. Isto significa que qualquer estado pode ser representado como uma combinação linear de estados estacionários.

A determinação dos estados estacionários de um determinado hamiltoniano é feita normalmente resolvendo-se a equação, dita equação de Schrödinger independente do tempo,

$$\hat{H}u(\vec{r})=Eu(\vec{r})$$ (51)

Resolver esta equação significa não só determinar $u(\vec{r})$, mas o par( $E\;,u(\vec{r})$). O número $E$ é o autovalor de $\hat{H}$ associado à autofunção $u(\vec{r})$. Problemas desse tipo são chamados, em matemática, problems de autovalores .