Apêndice 3: Ótica geométrica

A ótica geométrica é o limite da ótica ondulatória para $\lambda=0$. Na realidade, a ótica geométrica é uma aproximação que vale quando a difração é desprezível. Isto ocorre quando os obstáculos que as ondas de luz encontram têm dimensões grandes em relação ao comprimento de onda delas. Uma maneira de garantir que isto sempre se verifique é tomar ondas de comprimento bem pequeno. Por isso se diz ``no limite $\lambda=0$''.

Equações de Maxwell

Suponhamos que a propagação da luz se dê em um meio material simples, descrito por uma constante dielétrica $\epsilon$ e uma permeabilidade magnética $\mu$. Se o meio for homogêneo e se $\vec{j}=0$ e $\rho =0$, teremos as equações de onda

$$\vec{\nabla}^2 \vec{E}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} =0$$ (1018)

para o campo elétrico, e

$$\vec{\nabla}^2 \vec{B}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}$$ (1019)

com

$$v=\frac{c}{\sqrt{\mu\epsilon}}$$

Estas equações seguem diretamente das equações de Maxwell, como vimos anteriormente. Se a onda for monocromática, a dependência temporal será

$$e^{-i\omega t}$$

e a equação 1020 fica

$$\vec{\nabla}^2 \vec{E}+\frac{\omega^2}{v^2}\vec{E}=0$$ (1020)

e, pondo $k=\frac{\omega}{v}=\sqrt{\epsilon\mu}\frac{\omega}{c}$, temos

$$\vec{\nabla}^2 \vec{E}+k^2\vec{E}=0 \; .$$ (1021)

Vamos nos restringir a ondas escalares, ou seja, vamos ignorar que os campos são vetores. Perderemos com isso toda a variedade de fenômenos associados à polarização. No entanto, muitos fenômenos, aqueles que são diretamente associados ao caráter ondulatório, ao fenômeno da interferência, serão ainda razoavelmente descritos. Seja $u$ o campo escalar (por exemplo, uma das componentes de $\vec{E}$). A equação é

$$\vec{\nabla}^2 u+k^2u=0 \; .$$ (1022)

A equação do eikonal

Vamos procurar soluções da forma

$$u=Ae^{ik_0S}$$ (1023)

com $k_0=\frac{\omega}{c}$, onde $A$ e $S$ são funções de $x,y,z$ que variam lentamente e que não tendem a $\infty$ quando $k_0$ cresce.

$$\frac{\partial u}{\partial x}=(ik_0u\frac{\partial S}{\partial x}+ u\frac{\partial \log{A}}{\partial x})$$ (1024)

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \{-k_0^2u(\frac{\partial S} {\partial x})^2=ik_0u\frac{\log{A}}{\... ...partial x}\frac{\partial S}{\partial x} +ik_0u\frac{\partial^2S}{\partial x^2}+$$ (1025)

$$+ ik_0u\frac{\partial S}{\partial x}\frac{\partial \log{A}}{\partial x}+u(\frac{\partial\log{A}}{\partial x})^2 +$$

$$+ u\frac{\partial^2\log{A}}{\partial x^2}\}$$

com termos análogos para as derivadas em $y$ e $z$. Assim, temos

$$\vec{\nabla}^2u = \{-k_0^2u[(\frac{ \partial S}{\partial x})^2 + (\frac{ \partial S}{\partial y})^2 +(\frac{ \partial S}{\partial z})^2 ] +$$ (1026)

$$+ 2ik_0u(\frac{ \partial\log{A}}{ \partial x}\frac{ \partial S} { \... ...rtial y}+\frac{ \partial\log{A}}{ \partial z}\frac{ \partial S} { \partial z})+$$

$$+ ik_0u(\frac{ \partial^2 S}{\partial x^2} + \frac{ \partial^2 S}{\partial y^2}+\frac{ \partial^2 S}{\partial z^2})+$$

$$+ u[(\frac{ \partial\log{A}}{\partial x})^2 + (\frac{ \partial\log{A}}{\partial y})^2+ (\frac{ \partial\log{A}}{\partial z})^2] +$$

$$+ u(\frac{\partial^2\log{A}}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\log{A}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\log{A}}{\partial z^2})\}$$

Isto pode ser abreviado assim:

$$\vec{\nabla}^2=-k_0^2u\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S+2ik_0u \... ...vec{\nabla}\log{A}.\vec{\nabla}\log{A}+u\vec{\nabla}^2\log{A}$$ (1027)

Logo, a equação fica:

$$k^2=k_0^2\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S-2ik_0\vec{\nabla}\log{... ...ec{\nabla}\log{A}. \vec{\nabla}\log{A}-\vec{\nabla}^2\log{A}$$ (1028)

ou ainda,

$$\frac{k^2}{k_0^2}=\vec{\nabla} S. \vec{\nabla} S- \frac{2i... ...}. \vec{\nabla}\log{A}-\frac{1}{k_0^2} \vec{\nabla}^2\log{A}$$ (1029)

No limite $k_0\rightarrow\infty$, temos

$$\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S=n^2$$ (1030)

e

$$\frac{2i}{k_0}(\vec{\nabla}\log{A}.\vec{\nabla}S+\frac{1}{2} \vec{\nabla}^2S)=0$$ (1031)

de maneira que as equações são:

$$\vec{\nabla}\log{A}.\vec{\nabla}S = -\frac{1}{2}\vec{\nabla}^2S$$ (1032)

$$\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S = n^2$$ (1033)

que são as equações básicas da ótica geométrica.⁴¹

Exemplos

$n$ é constante

$$\vec{\nabla}S.\vec{\nabla}S = \; cte$$

de onde segue que $\vec{\nabla}S = \; cte$, ou seja,

$$S=n(\alpha x+\beta y +\gamma z)$$

Neste caso

$$\vec{\nabla}S = n(\alpha \vec{\nabla} x+\beta \vec{\nabla} ... ... \vec{\nabla} z)=n(\alpha\vec{i}+\beta\vec{j}+\gamma\vec{k})$$

e

$$\vec{\nabla} S. \vec{\nabla} S=n^2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)=n^2$$ (1034)

Logo,

$$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \; ,$$ (1035)

e as superfícies

$$S=n(\alpha x+\beta y+\gamma z)= \; cte.$$ (1036)

são planos. Ora, as superfícies $S=cte.$ são as frentes de onda, logo a propagação aqui descrita é a de ondas planas. Note-se que, se $\vec{n}$ é um vetor unitário, isto é, se $\vec{n}.\vec{n}=1$, temos, com $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$,

$$\vec{n}.\vec{r}=n_xx+n_yy+n_zz$$

e

$$n_x^2+n_y^2+n_z^2=1$$

Comparando com a Eq.(1037) vemos que $n_x=n\alpha$, $n_y=n\beta$ e $n_z=n\gamma$, razão pela qual $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ são os `` cosenos diretores'' da direção $\vec{n}$.

Dois meios homogêneos

Vamos ver agora o casode dois meios homogêneos separados por um plano em $x=0$ Temos

$$(\frac{\partial S}{\partial x})^2+(\frac{\partial S}{\parti... ...\partial S}{\partial z})^2=(\frac{k_1}{k_0})^2 \; para \; x<0$$ (1037)

e

$$(\frac{\partial S}{\partial x})^2+(\frac{\partial S}{\parti... ...\partial S}{\partial z})^2=(\frac{k_2}{k_0})^2 \; para \; x>0$$ (1038)

Seja $S$ um plano cuja normal não tem componente ao longo de $z$. Então

$$S(x,y)=\frac{k_1}{k_0}(x\cos{\theta_1}+y\sin{\theta_1}) \;\; x<0$$ (1039)

$$S(x,y)=\frac{k_2}{k_0}(x\cos{\theta_2}+y\sin{\theta_2}) \;\; x>0$$ (1040)

Para $x=0$,

$$\frac{k_1}{k_0}y\sin{\theta_1}=\frac{k_2}{k_0}y\sin{\theta_2}$$ (1041)

ou

$$n_1\sin{\theta_1}=n_2\sin{\theta_2}$$ (1042)

que é a lei de Snell-Descartes.

Simetria esférica

Considere a seguinte solução da equação do eikonal, dotada de simetria esférica:

$$S=nr$$ (1043)

onde $n=\vert\vec{n}\vert$ e $r=\vert\vec{r}\vert$. Temos $\vec{\nabla} S=n \vec{\nabla} r= n\frac{\vec{r}}{r}$ e, portanto, $\vec{\nabla} S. \vec{\nabla} S=n^2$. As superfícies $S=cte.$ são, neste caso, as superfícies $r=cte.$, ou seja, as frentes de onda são superfícies esféricas com centro na origem. Para que se trate verdadeiramente de uma solução da equação do eikonal, é preciso ainda que a Eq.(1035) seja satisfeita:

$$\vec{\nabla} \log{A}.\vec{\nabla} S=-\frac{1}{2}\vec{\nabla}^2S$$ (1044)

Ora,

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla} .\vec{\nabla} S & & =\vec{\nabla} .(n\frac{\vec{... ...r}}{r^3})\}=n\{\frac{3}{r}-\frac{1}{r}\}\\ & = & \frac{2n}{r} \end{eqnarray*}$$

ou

$$\vec{\nabla}^2S=\frac{2n}{r}$$ (1045)

É necessário então que

$$\vec{\nabla} \log{A}.\vec{\nabla} S=-\frac{n}{r}$$

ou, que

$$\vec{\nabla} \log{A}.n\frac{\vec{r}}{r}=-\frac{n}{r}$$

Segue então que

$$\vec{\nabla} \log{A}.\vec{r}=-1$$

Portanto,

$$\vec{\nabla} \log{A}=-\frac{\vec{R}}{r^2}$$ (1046)

Mas $\vec{\nabla} \log{A}=\frac{1}{A}\vec{\nabla}A=-\frac{\vec{r}}{r^2}$ e, conseqüentemente,

$$A=\frac{1}{r}$$ (1047)

Podemos então contruir a onda $u=Ae^{ik_0S}$(ver Eq.(1025)).

$$u=\frac{1}{r}e^{ik_0nr}=\frac{1}{r}e^{ikr}=e^{i\sqrt{\epsilon\mu} \frac{\omega}{c}r}$$ (1048)

que é a parte espacial de uma onda esférica.

Curvatura dos raios de luz

Considere a curva descrita pela extremidade do vetor $\vec{r}(s)$, onde $s$ é o comprimento da curva. Seja $\vec{s}$ o vetor tangente à curva em cada ponto. Se a curva for uma reta, a tangente em todos os pontos tem a mesma direção. Em curvas que não são retas, a tangente ``gira'' quando se percorre a curva. Este movimento da tangente é usado para definir a curvatura de uma curva como o vetor

$$\vec{K}=\frac{d\vec{s}}{ds}$$ (1049)

Como o vetor tangente é $\vec{s}=\frac{\vec{R}}{ds}$, vemos que a curvatura é $\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}$, ou seja é a ``aceleração'', se $s$ for tomado como o tempo.
Considere, por exemplo, um círculo, de equação $x^2+y^2=R^2$. Temos

$$\begin{eqnarray*} x & = & R\cos{\theta}\\ y & = & R\sin{\theta}\\ dx & = & -R\sin{\theta}d\theta\\ dy & = & R\cos{\theta}d\theta \end{eqnarray*}$$

e segue facilmente que

$$ds^2=R^2\sin^2{\theta}d\theta^2+R^2\cos^2{\theta}d\theta^2=R^2d\theta^2$$

ou,

$$ds=Rd\theta$$

Como $\vec{r}=R\cos{\theta}\vec{i}+R\sin{\theta}\vec{j}$, temos

$$\vec{s}=\frac{d\vec{r}}{ds}=-R\sin{\theta}\frac{d\theta}{ds}\vec{i}+ R\cos{\theta}\frac{d\theta}{ds}\vec{j}$$

que dá

$$\vec{s}=-\sin{\theta}\vec{i}+\cos{\theta}\vec{j}$$

Para a curvatura então temos:

$$\vec{K}=\frac{d\vec{s}}{ds}=\frac{1}{Rd\theta}(-\cos{\theta}d\theta\vec{i}- \sin{theta}d\theta\vec{j})$$

ou

$$\vec{K}=-\frac{\vec{R}}{R^2}$$ (1050)

A curvatura é, então, um vetor, cujo módulo é

$$K=\frac{1}{R}$$

A curvatura do círculo é tanto maior quanto menor o raio, o que mostra que a definição acompanha a idéia intuitiva.

Voltemos ao caso geral. Como o vetor tangente $\vec{s}$ tem módulo $1$⁴², de $\vec{s}.\vec{s}=1$ segue que

$$\vec{s}.\frac{d\vec{s}}{ds}=0$$ (1051)

ou seja, $\frac{d\vec{s}}{ds}$ é perpendicular a $\vec{s}$. Logo, $\frac{d\vec{s}}{ds}$ pode ser escrito na forma

$$\frac{d\vec{s}}{ds}=\vec{A}\times\vec{s}$$ (1052)

onde $\vec{A}$ é um vetor a determinar⁴³De fato, considere o vetor

$$\vec{A}=a\; rot\vec{s}$$ (1053)

onde $a$ é uma constante. Temos $\frac{d\vec{s}}{ds}=a\;rot\vec{s}\times\vec{s}$ e

$$(\frac{d\vec{s}}{ds})_i=\frac{d\vec{s}_i}{ds}=\frac{\partia... ...ds} =\frac{\partial s_i}{\partial x^l}s^l=(\partial_ls_i)s^l$$ (1054)

enquanto

$$\begin{eqnarray*} (rot\vec{s}\times\vec{s})_i & = & \epsilon_{ijk}(rot\vec{s})_... ...})(\partial_l s_m)s_k=(\partial_l s_i)s_l- (\partial_i s_k)s_k \end{eqnarray*}$$

e o último termo é nulo, pois $(\partial_i s_k)s_k = \frac{1}{2}\partial_i(\vec{s})^2$, e $\vec{s}.\vec{s}=1$. Conseqüentemente,

$$\frac{d\vec{s}}{ds}=rot\vec{s}\times\vec{s}$$ (1055)

Até agora falamos genericamente de curvas. Consideremos agora curvas que sejam raios de luz. Como vimos anteriormente, os raios de luz são ortogonais às superfícies $S=cte.$, ou seja, têm, em cada ponto dessas superfícies, a direção de $\vec{\nabla}S$. Em símbolos,

$$\vec{s}=\frac{1}{n}\vec{\nabla}S$$ (1056)

Daí decorre que

$$rot(n\vec{s})=0$$ (1057)

onde usamos o fato conhecido $rot\;grad=0$. Da Eq.(1059) segue que

$$\begin{eqnarray*} n rot\vec{s}+\vec{\nabla} n\times\vec{s} & = & 0\\ rot \vec{s} & = & \frac{1}{n}(\vec{s}\times \vec{\nabla} n) \end{eqnarray*}$$

e, portanto, que

$$\begin{eqnarray*} \frac{d\vec{s}}{ds} & = & \frac{1}{n}(\vec{s}\times \vec{\nab... ...\vec{s}.\vec{s}) \vec{\nabla} n-(\vec{s}.\vec{\nabla} n)\vec{s} \end{eqnarray*}$$

e, finalmente,

$$n\vec{K}=\vec{\nabla} n-(\vec{s}.\vec{\nabla} n)\vec{s}$$ (1058)

onde $\vec{K}$ é o vetor curvatura do raio. Uma conseqüência imediata da Eq.(1060) é que em meios homogêneos ($n$ constante) a curvatura é nula, e os raios são retas. Uma outra aplicação é a seguinte: quando o Sol está muito baixo, no nascente ou no poente, os raios que atingem um observador são aproximadamente horizontais. O índice de refração da atmosfera diminui com a altitude, logo $\vec{\nabla} n$ aponta para o centro da Terra, ou seja, é vertical. Então, na Eq.(1060), o segundo termo do segundo membro é muito pequeno. Conclui-se que a curvatura desses raios é paralela a $\vec{\nabla} n$, apontando para o centro da Terra. Os raios, isto é, se curvam para baixo. Em conseqüência, o observador, que interpreta sempre o raio como uma reta, ``vê'' o Sol mais alto do que está na realidade. De fato, isto explica por que se vê o Sol ainda um pouco depois de ele ter se posto.

Lentes esféricas

No tratamento elementar da ótica geométrica obtém-se, por constrções geométricas utilizando a lei de Snell-Descartes, a equação

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$ (1059)

sendo $a$ a distância do objeto à lente (supostamente de espessura desprezíivel), $b$ a distância da imagem à lente, e $f$ a distância focal da lente, que é dada por

$$\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})$$

sendo $n$ o íindice de refração do vidro, $R_1$ e $R_2$ os raios das superfíicies esféricas da lente. O significado de $f$ pode ser obtido facilmente da Eq.(1061): tomando-se $a=\infty$, tem-se

$$\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$ (1060)

que mostra ser $f$ a distância a que se forma a imagem quando o objeto está no infinito. Na Eq.(1061) a lente é suposta de espessura zero, e a distância à lente é confundida com a distância ao centro da lente.

Vamos tratar esse problema com o uso da equação do eikonal. Não haverá qualquer dificuldade em tratar o caso de lentes espessas, e o caminho estará aberto também para o tratamento de lentes cujas faces não sejam superfícies esféricas. O ponto $P$ da figura designa a posição do objeto, de coordenadas $x=0$, $y=0$ e $z=0$. O eixo $z$ é a direção de incidência: é a reta que une $P$ ao centro da lente, $O$.

Um raio partido de $P$ e incidente sobre a lente, encontra-a no ponto $T$, pertencente a uma superfície esférica de raio $R_1$ (a primeira face da lente). O centro dessa superfície esférica está no ponto de coordenadas $x=0$, $y=0$, $z=a+R_1$. As coordenadas de $T$ são $x=0$, $y=0$, $z=a$. Um ponto vizinho à lente tem coordenada $z=a+\zeta$, com $\vert a\vert\gg\vert\zeta\vert$

As ondas esféricas emitidas de $P$ têm o eikonal

$$s=nr=n\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ (1061)

com $n=1$ (região externa à lente), ou seja, mais explicitamente,

$$s=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ (1062)

Perto da primeira face da lente o eikonal é

$$S=\sqrt{x^2+y^2+(a+\zeta)^2}$$

Restringindo-nos a pequenas aberturas, basta considerar valores pequenos de $x$ e $y$. Então,

$$S = \sqrt{(a+\zeta)^2+x^2+y^2} = \sqrt{(a+\zeta)^2(1+\frac{x^2+y^2}{(a+\zeta)^2})}$$ (1063)

$$= (a+\zeta)\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{(a+\zeta)^2}}\approx(a+\zeta)(1+\frac{x^2+y^2}{2(a+\zeta)^2})$$

ou seja,

$$S=a+\zeta+\frac{x^2+y^2}{2a}$$ (1064)

A equação da superfície da primeira face da lente é

$$x^2+y^2+(z-a-R_1)^2=R_1^2$$ (1065)

Podemos agora resolver o problema da primeira refração na lente.

A primeira refração

A figura mostra um raio saindo de $P$ e incidindo sobre a lente, e o raio refratado (que existe só dentro da lente). Prolongando-se o raio refratado até que atinja o eixo da lente, determina-se o ponto $Q_1$. Esse raio, $TQ_1$, existiria se a propagação se desse num meio homogêneo de índice de refração igual ao da lente, $n$. O eikonal do raio refratado é, então,

$$S=n\sqrt{x^2+y^2+(z-a+r)^2}$$ (1066)

pois as coordenadas de $Q_1$ são $x=0$, $y=0$, $z=-(r-a)$. Para pontos próximos à primeira face da lente temos $z=a+\zeta$, com $\vert a\vert\gg\vert\zeta\vert$. Então,

$$S=n\sqrt{x^2+y^2+(r+\zeta)^2}$$ (1067)

ou, aproximadamente,

$$S=n(r+\zeta+\frac{x^2+y^2}{2r})+S_0$$ (1068)

onde $S_0$ é uma constante. Em geral essa constante aditiva é desnecessária, embora esteja sempre presente, já que, sendo a equação do eikonal uma equação para $\vec{\nabla}S$, se um $S$ é solução, $S+S_0$ também o será, $S_0$ sendo uma constante arbitrária. Neste problema que estamos estudando, imporemos a continuidade do eikonal numa determinada superfície, e, para isso ser possível, é necessário incluir o $S_0$.

A condição de contorno é que o eikonal (a fase!) varie continuamente ao atravessar a face da lente. Se isto não lhe parece intuitivo, note que é sob essa condição que se obtém a lei de Snell-Descartes para a refração numa superfície plana, o que pode ser considerado uma ``verificação experimental'' do fato. Para pequenas aberturas os pontos que satisfazem a Eq.(1067) da superfície são tais que

$$x^2+y^2+(\zeta-R_1)^2=R_1^2$$ (1069)

ou, como $R_1\gg\vert\zeta\vert$,

$$x^2+y^2+R_1^2(1-\frac{\zeta}{R_1})^2=R_1^2$$ (1070)

ou ainda,

$$\zeta=\frac{x^2+y^2}{2R_1}$$ (1071)

Devemos ter a coincidência dos dois eikonais sobre a superfície da lente. Então,

$$\{a+\zeta+\frac{x^2+y^2}{2a}\}_{Sup}=\{n(r+\zeta+ \frac{x^2+y^2}{2r})+S_0\}_{Sup}$$ (1072)

que leva a

$$a+\frac{x^2+y^2}{2R_1}+\frac{x^2+y^2}{2a}=nr+S_0+n\frac{x^2+y^2}{2R_1} +n\frac{x^2+y^2}{2r}$$ (1073)

ou seja,

$$S_0+nr=a$$ (1074)

e

$$\frac{1}{2R_1}+\frac{1}{2a}=\frac{n}{2R_1}+\frac{n}{2r}$$ (1075)

ou ainda

$$\frac{n-1}{R_1}=\frac{1}{a}-\frac{n}{r}$$ (1076)

Esta equção resolve o problema da refração por um dioptro esférico.

A segunda refração

A equação da segunda face, se $R_2$ é o seu raio e $C$ o seu centro, é

$$(x-x_{C})^2+(y-y_{C})^2+(z-z_{C})^2=R_2^2$$ (1077)

ou

$$x^2+y^2+(z-(R_2-a-d))^2=R_2^2$$ (1078)

Para pontos próximos à segunda face, temos

$$z=a+d+\zeta$$

com $\vert\zeta\vert\ll \vert a+d\vert$. Então,

$$x^2+y^2+(a+d+\zeta=(a+d-R_2))^2=R_2^2$$ (1079)

ou

$$x^2+y^2+(\zeta+R_2)^2=R_2^2$$ (1080)

e, usando o fato de que $\vert\zeta\vert$ é pequeno,

$$x^2+y^2+R_2^2(1+\frac{2\zeta}{R_2})^2=R_2^2$$ (1081)

e, finalmente,

$$x^2+y^2+2\zeta R_2=0$$ (1082)

que podemos por na forma

$$\zeta=-\frac{x^2+y^2}{2R_2}$$ (1083)

O eikonal do segundo raio refratado é

$$S=-\sqrt{x^2+y^2+(z-z_{O_2})^2}$$ (1084)

onde $z_{O_2}=a+d+b$, o que dá

$$S=-\sqrt{x^2+y^2+(z-a-d-b)^2}$$ (1085)

O sinal (-) é devido ao fato de se tratar de uma onda esférica que está se contraindo para o ponto $O_2$. De fato, uma onda esférica que sai da origem é

$$\frac{e^{i(kr-\omega t)}}{r}$$

ao passo que uma onda esférica que chega na origem é dada por

$$\frac{e^{i(-kr-\omega t)}}{r} \; .$$

Perto da segunda face da lente, temos

$$S=-\sqrt{x^2+y^2+(a+d+\zeta-a-d-b)^2}$$ (1086)

ou

$$S=-\sqrt{x^2+y^2+(\zeta-b)^2}$$ (1087)

Para pequenas aberturas,

$$\begin{eqnarray*} S_2 & = & -\sqrt{(b-\zeta)^2(1+\frac{x^2+y^2}{(b-\zeta)^2})}\... ...(b-\zeta)^2})\\ & = & -\{b-\zeta + \frac{x^2+y^2}{2(b-\zeta)} \end{eqnarray*}$$

ou

$$S=-\{b-\zeta+\frac{x^2+y^2}{2b}\}$$ (1088)

O eikonal do primeiro raio refratado, quando ele atinge as proximidades da segunda face da lente, é

$$S'=n\sqrt{x^2+y^2+(a+d+\zeta-a+r)^2}$$ (1089)

onde resolvemos denotá-lo por $S'$ para distinguí-lo do eikonal do segundo raio refratado. Temos, após uma simplificação,

$$S'= n\sqrt{x^2+y^2+(\zeta+d=r)^2}$$ (1090)

Para pequenas aberturas,

$$\begin{eqnarray*} S'& = & n\sqrt{(r+d+\zeta)^2(1+\frac{x^2+y^2}{(r+d+\zeta)^2}}\\ & = & n(r+d+\zeta)(1+\frac{x^2+y^2}{2(r+d+\zeta)^2}) \end{eqnarray*}$$

ou, finalmente,

$$S'=n(r+d+\zeta +\frac{x^2+y^2}{2(r+d)})$$ (1091)

Devemos então ter, na segunda face,

$$n(r+d+\zeta+\frac{x^2+y^2}{2(r+d)}+ S_0)_{Sup}=-(b-\zeta+\frac {x^2+y^2}{2b})_{Sup}$$ (1092)

onde o cálculo deve ser feito para os pontos da segunda superfície da lente, ou seja, para

$$\zeta=-\frac{x^2+y^2}{2R_2}$$ (1093)

Temos então

$$n(r+d-\frac{x^2+y^2}{2R_2}+\frac{x^2+y^2}{2(r+d)}+S_0)= -(b+\frac{x^2+y^2}{2R_2}+\frac{x^2+y^2}{2b})$$ (1094)

que dá as equações

$$nr+nd +nS_0+b=0$$ (1095)

e

$$-\frac{n}{2R_2}+\frac{n}{2(r+d)}+\frac{1}{2R_2}+\frac{1}{2b})=0$$ (1096)

ou

$$\frac{n-1}{R_2}=\frac{1}{b}+\frac{n}{r+d}$$ (1097)

A equação dos focos conjugados

A solução do problema consiste em combinar as Eqs.(1097) e (1099) para eliminar $r$. Da Eq.(1097) temos

$$\frac{r}{n}=\frac{1}{\frac{1}{a}-\frac{n-1}{R_1}}$$ (1098)

e, da Eq.(1099),

$$\frac{r+d}{n}=\frac{1}{\frac{n-1}{R_2}-\frac{1}{b}}$$ (1099)

Subtraindo a primeira da segunda, temos

$$\frac{d}{n}=\frac{1}{\frac{n-1}{R_2}-\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{n-1}{R_1}-\frac{1}{a}}$$ (1100)

que é a equação dos focos conjugados para uma lente de espessura $d$ e para pequenas aberturas. Se $d=0$, obtém-se

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(n-1)(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})=\frac{1}{f}$$ (1101)

que é a equação usual, para lentes delgadas.