Apêndice Matemático 1

Operadores e suas representações matriciais

Seja $\hat{O}$ um operador linear num espaço vetorial $E$ sobre os números complexos. Seja $\{\vec{e}_i\}$, com $i=1, \ldots ,n$, uma base desse espaço, que, portanto, tem dimensão $n$. Aplicando-se $\hat{O}$ a um elemento da base, por exemplo, $\vec{e}_i$, tem-se um novo vetor do espaço, que pode ser expandido na base dada. Esta expansão é escrita

$$\hat{O}\vec{e}_i = \sum_{j=1}^{n}O_{ji}\vec{e}_j$$ (868)

onde os $O_{ji}$ são números complexos, denominados elementos de matriz de $\hat{O}$ na base $\{\vec{e}_i\}$.

Seja $\vec{v}$ um vetor qualquer de $E$, tal que

$$\vec{v}=\sum_{i=1}^{n}v_i\vec{e}_i \; .$$ (869)

Temos

$$\hat{O}\vec{v}= \hat{O}\sum_{i=1}^{n}v_i\vec{e}_{i} =\sum_{i=1}^{n}v_i\hat{O}\vec{e}_i$$ (870)

e, usando (869),

$$\hat{O}\vec{v}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}v_i O_{ji}\vec{e}_j$$ (871)

A equação (872) mostra que, de posse dos elementos de matriz de $\hat{O}$, é possível determinar a ação deste operador sobre qualquer vetor. Ou seja, escolhida uma base, o operador pode ser substituído pelo conjunto de seus elementos de matriz. Convenciona-se escrever o conjunto desses elementos de matriz da seguinte forma:

$$O = \left( \begin{array}{cccc} O_{11} & O_{12} & ... & O_{... ... .... \\ O_{n1} & O_{n2} & ... & O_{nn} \end{array} \right)$$ (872)

Uma segunda maneira de ler a eq.(872) é : as componentes do vetor $\hat{O}\vec{v}$ em relação à base dada são os números complexos

$$\left(\hat{O}\vec{v}\right)_j=\sum_{i=1}^{n}O_{ji}v_i$$ (873)

Se representarmos os vetores por matrizes coluna cujos elementos são as suas componentes,

$$\vec{v} \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} v_{1}\\ v_{2}\\ ... \\ v_{n} \end{array} \right)$$ (874)

podemos representar a ação de um operador sobre um vetor assim:

$$\hat{O}\vec{v} \Leftrightarrow \left( \begin{array}{cccc} ... ...y}{c} v_{1}\\ v_{2}\\ ... \\ v_{n} \end{array} \right)$$ (875)

onde, para calcular o segundo membro, usam-se as regras de produtos de matrizes usuais.

O leitor, como exercício, poderá mostrar que a representação matricial do operador $\hat{O}_1\hat{O}_2$, produto dos operadores $\hat{O}_1$ e $\hat{O}_2$, é dada pelo produto, no sentido de matrizes, das matrizes que representam $\hat{O}_1$ e $\hat{O}_2$, nesta ordem. Recordemos que o produto das matrizes $A$, de elementos $A_{ij}$ e $B$, de elementos $B_{ij}$, é a matriz de elementos

$$(AB)_{ij}= \sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$$ (876)

regra que pode ser obtida facilmente da equação (869).

Seja $\{\vec{f}_i\}$ uma segunda base. Podemos escrever

$$\hat{O}\vec{f}_i=\sum_{j=1}^{n}\left(O_f\right)_{ji}\vec{f}_{j}$$ (877)

enquanto que, em relação à primeira (para o mesmo $\hat{O}$)

$$\hat{O}\vec{e}_{i}=\sum_{j=1}^{n}\left(O_e\right)_{ji}\vec{e}_j$$ (878)

onde indicamos com $O_f$ e $O_e$ as matrizes que representam $\hat{O}$ nas bases $\{\vec{f}_i\}$ e $\{\vec{e}_i\}$ respectivamente. As matrizes $O_f$ e $O_e$ representam o mesmo operador em bases distintas. Matrizes com esta propriedades são ditas equivalentes. O que caracteriza matrizes equivalentes?

Transformações entre bases

Um elemento qualquer da base (f) pode ser expandido na base (e):

$$\vec{f}_i=\sum_{m}f_{mi}\vec{e}_m$$ (879)

e analogamente,

$$\vec{e}_s=\sum_{r}g_{rs}\vec{f}_r$$ (880)

Logo, segue que

$$\vec{e}_s=\sum_{r}g_{rs}\vec{f}_r=\sum_{r}g_{rs}\sum_{m}f_{mr}\vec{e}_{m}$$ (881)

ou

$$\vec{e}_s=\sum_{m}\left(\sum_{r}f_{mr}g_{rs}\right)\vec{e}_{m}$$ (882)

de onde segue, imediatamente, que

$$\sum_{r}f_{mr}g_{rs} = \delta_{ms}$$ (883)

Invertendo os papeis das bases (e) e (f), obtém-se, da mesma maneira,

$$\sum_{m}g_{rm}f_{mi}=\delta_{ri}$$ (884)

Seja $F$ a matriz cujos elementos são $f_{mi}$, e $G$ aquela cujos elementos são $g_{rm}$. Então as equações (884) e (885) são escritas, respectivamente,

$$FG=1$$ (885)

e

$$GF=1$$ (886)

Quando, entre duas matrizes, existe este par de relações, uma é o inverso da outra. Ou seja,

$$G=F^{-1}$$ (887)

ou, equivalentemente,

$$F=G^{-1}$$ (888)

A condição necessária e suficiente para que uma matriz tenha inverso é que seu determinante seja diferente de zero.

Matrizes equivalentes

Sejam $O_f$ e $O_e$ duas representações matriciais do operador $\hat{O}$, ou seja, duas matrizes equivalentes. Temos

$$\hat{O}\vec{f}_i=\sum_j\left(O_f\right)_{ji}\vec{f}_j =\sum_j\left(O_f\right)_{ji}\sum_{rl}f_{lj}\vec{e}_l$$ (889)

Por outro lado,

$$\hat{O}\vec{f}_i=\hat{O}\sum_{m}f_{mi}\vec{e}_{m} =\sum_{... ...c{e}_m=\sum_{m}f_{mi}\sum_{l} \left(O_e\right)_{lm}\vec{e}_l$$ (890)

Igualando (890) e (891), temos

$$\sum_{j}f_{lj}\left(O_f\right)_{ji}=\sum_{m}\left(O_e\right)_{lm}f_{mi}$$ (891)

ou, na linguagem das matrizes,

$$FO_f = O_e F$$ (892)

ou, na forma mais comum,

$$O_e = F O_f F^{-1}$$ (893)

Em palavras, duas matrizes $A$ e $B$ são equivalentes se existir uma matriz não-singular (isto é, que tem inversa) $F$ tal que

$$A = FBF^{-1}$$ (894)

Uma relação desse tipo entre matrizes $A$ e $B$ é dita também uma transformação de eqüivalência, ou de semelhança. A riqueza de sinônimos revela a idade do problema!

Exercícios:
1. Mostre que, se o operador $\hat{O}$ possui inverso e se a representação matricial dele em uma determinada base é a matriz $A$, então a representação matricial de $\hat{O}^{-1}$ nesta mesma base é a matriz $A^{-1}$.
2. Mostre que duas matrizes equivalentes têm o mesmo traço e o mesmo determinante. Por isso essas duas quantidades são ditas invariantes de uma matriz.

Autovalores de uma matriz

Sejam $\hat{O}$ um operador linear e $\vec{v} \neq 0$ um vetor tais que

$$\hat{O}\vec{v}=\lambda \vec{v}$$ (895)

onde $\lambda$ é um número complexo. Diz-se que $\vec{v}$ é um autovetor de $\hat{O}$, e que $\lambda$ é um autovalor de $\hat{O}$. A equação acima pode ser escrita assim:

$$\left(\hat{O}-\lambda \hat{1}\right)\vec{v}=0$$ (896)

Suponhamos que o operador $\hat{O}-\lambda\hat{1}$ tenha inverso, denotado por $\hat{U}=\left(\hat{O}-\lambda\hat{1}\right)^{-1}$. Então, aplicando-se $\hat{U}$ à esquerda de (897), temos

$$\hat{U}\left(\hat{O}-\lambda \hat{1}\right)\vec{v}= \vec{v}=0$$ (897)

o que é absurdo, pois $\vec{v}$, como autovetor, deve ser não-nulo. Conclui-se que o operador $\left(\hat{O}-\lambda \hat{1}\right)$ é singular, ou seja, não tem inverso. Em conseqüência, suas representações matriciais também não terão inverso.

A versão matricial da eq.(897) é

$$\sum_{j}\left(O_{ij}-\lambda \delta_{ij}\right)v_j=0$$ (898)

onde $O_{ij}$ é o elemento $ij$ da matriz $O$, que representa o operador $\hat{O}$ em alguma base, e $\delta_{ij}$ é o elemento $ij$ da matriz que representa o operador $\hat{1}$. Em conseqüência da conclusão acima, o primeiro membro da eq.(899) deve ser uma matriz singular (sem inverso). Logo, devemos ter

$$det \left(O_{ij}-\lambda \delta_{ij}\right)=0$$ (899)

que é uma maneira simplificada de dizer que o determinante da matriz cujo elemento genérico é $O_{ij}-\lambda \delta_{ij}$ é zero.

Esta equação, $\lambda$ sendo a incógnita, é uma equação algébrica de ordem igual à dimensão $n$ do espaço, ou, o que é o mesmo, igual à ordem da matriz. Em prinípio tem $n$ soluções, mas não necessariamente distintas. Estas soluções são os autovalores do operador, e são também chamadas de autovalores da matriz que representa o operador. A equação (900) é conhecida como equação secular.

Diagonalização de uma matriz

Neste capítulo, diferentemente do que ocorreu nos anteriores, omitiremos os sinais de somatória, usando a convenção de que índices repetidos indicam a soma sobre todos os valores desses índices.

Seja $A$ uma matriz, de elementos $A_{ij}$, que são números complexos. Seja $\lambda_1$ um autovalor da matriz $A$. Isto quer dizer que existe $\vec{v}$ tal que³⁶

$$A\vec{v} = \lambda_1 \vec{v}$$ (900)

ou

$$A_{11}v_1 + A_{12}v_2 + \ldots +A_{1n}v_n = \lambda_1 v_1$$

$$A_{12}v_1 + A_{22}v_2 + \ldots +A_{2n}v_n = \lambda_1 v_2$$

$$......................................... = .............$$

$$A_{1n}v_1 + A_{2n}v_2 + \ldots +A_{nn}v_n = \lambda_1 v_n$$ (901)

Mais geralmente, seja $\vec{v}_{k}$ o autovetor correspondente ao autovalor $\lambda_{k}$,

$$A\vec{v}_k = \lambda_k \vec{v}_k$$ (902)

Escrevendo a relação acima em componentes, temos

$$\left(A\vec{v}_{k}\right)_{i}=\lambda_k \left(\vec{v}\right)_i$$ (903)

ou

$$A_{ij}\left(\vec{v}_{k}\right)_{j}=\lambda_{k}\left(\vec{v}_{k}\right)_{i}$$ (904)

Considere a matriz cujos elementos são

$$\rho_{ik} = \left(\vec{v}_{k}\right)_{i}$$ (905)

Então

$$A_{ij}\left(\vec{v}_{k}\right)_j= A_{ij}\rho_{jk}=\lambda_k\rho_{ik}$$ (906)

ou, definindo a matriz diagonal $\Lambda$, de elementos

$$\Lambda_{ij}=\lambda_{j}\delta_{ij}$$ (907)

$$\left(A\rho\right)_{ik}=\left(\rho \Lambda\right)_{ik}$$ (908)

ou, como uma equação matricial,

$$A\rho = \rho\Lambda$$ (909)

Se a matriz $\rho$ for inversível, isto é, se existir $\rho^{-1}$, obtemos, aplicando $\rho^{-1}$ à esquerda,

$$\rho^{-1}A\rho = \Lambda$$ (910)

A matriz $A$ foi transformada, por uma ``transformação de semelhança'', numa matriz diagonal. Seja $\hat{A}$ o operador linear que, em relação a uma determinada base, possui a representação matricial $A$. A equação (911) mostra que, no caso de $\rho$ possuir inversa, existe uma outra base na qual $\hat{A}$ é representado pela matriz diagonal $\Lambda$.

Que matriz é $\rho$? Sejam

$$\vec{v}_k = \left( \begin{array}{c} v_{k1}\\ v_{k2}\\ ... \\ v_{kn} \end{array} \right) \nonumber \\$$

os autovetores de $A$, para $k=1\ldots n$. Seja a matriz construída justapondo-se essas matrizes colunas designada por $v$. Então

$$v = \left( \begin{array}{cccc} v_{11} & v_{21} & ... & v_{... ...& ... \\ v_{1n} & v_{2n} & ... & v_{nn} \end{array} \right)$$ (911)

A matriz $\rho$ é a transposta de $v$, ou seja,

$$\rho= \left( \begin{array}{cccc} v_{11} & v_{12} & ... & ... ...& ... \\ v_{n1} & v_{n2} & ... & v_{nn} \end{array} \right)$$ (912)

Condição necessária e suficiente para que exista $\rho^{-1}$ é que o determinante de $\rho$ seja diferente de zero. Ora, uma condição suficiente para que o determinante de uma matriz seja não-nulo é que suas linhas sejam linearmente independentes. Como as linhas de $\rho$ são os autovetores $\vec{v}_{k}$, conclui-se que uma condição suficiente para que exista $\rho^{-1}$ é que os autovetores de $A$ sejam linearmente independentes. Um corolário é que, se $A$ é hermiteana, ela é diagonalizavel, pois o conjunto dos autovetores de uma matriz hermiteana forma uma base, o que significa que os autovetores são linearmente independentes.

Exemplo

Diagonalizar a matriz complexa³⁷

$$A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \; .$$ (913)

A equação secular (900) é, neste caso,

$$det \left\{ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{... ...ay}{rr} -\lambda & 1\\ 1 & -\lambda \end{array}\right) = 0$$ (914)

ou

$$\lambda^2 -1=0$$ (915)

cujas soluções são

$$\lambda = \pm 1$$ (916)

Então a matriz, quando estiver na forma diagonal, será

$$\left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right) \; .$$ (917)

Contudo, vamos construir explicitamente a transformação de semelhança que leva $A$ à forma diagonal. Para isso precisamos determinar os autovetores de $A$. Seus autovalores já foram determinados: são $\lambda_1 = +1$ e $\lambda_2 = -1$. Temos Seja $\vec{v}_i$ o autovetor associado ao autovalor $\lambda_i$. Então,

$$A\vec{v}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1$$ (918)

$$A\vec{v}_2 = \lambda_2 \vec{v}_2$$ (919)

Denotando o vetor $\vec{v}_i$ pela matriz coluna

$$\left( \begin{array}{c} (v_i)_1\\ (v_i)_2 \end{array}\right)$$

temos, para (920):

$$\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)... ...left(\begin{array}{c} (v_1)_1\\ (v_1)_2 \end{array}\right)$$ (920)

Realizando o produto de matrizes do primeiro termo, temos

$$\left( \begin{array}{c} (v_1)_2\\ (v_1)_1 \end{array}\ri... ...eft( \begin{array}{c} (v_1)_1\\ (v_1)_2 \end{array}\right)$$ (921)

Como a igualdade de matrizes implica na igualdade, um a um, dos termos de mesmos índices, temos

$$(v_1)_2 = (v_1)_1$$ (922)

$$(v_1)_1 = (v_1)_2$$ (923)

A solução mais geral dessas equações é a matriz coluna

$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} a\\ a \end{array}\right)$$ (924)

onde $a$ é qualquer número diferente de zero. Esta ambigüidade era esperada, pois, pela linearidade dos operadores em questão, se $\vec{v}$ é um autovetor correspondendo a um determinado autovalor, qualquer múltiplo não-nulo seu também o é. Uma maneira de levantar a ambigüidade é exigir que o vetor seja normalizado. Isto se faz assim: o produto escalar de $\vec{v}_1$ consigo mesmo é

$$(a^*, a^*)\left(\begin{array}{c} a\\ a \end{array}\right)= a^* a + a^* a = 2\vert a\vert^2 = 1$$ (925)

Logo, devemos ter $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (a fase, como sempre, é escolhida arbitrariamente). Portanto,

$$\vec{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)$$ (926)

Um cálculo análogo leva a

$$\vec{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\right)$$ (927)

Note-se que

$$\vec{v}_1.\vec{v}_2 = \frac{1}{2}(1,1)\left(\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\right) = 0$$ (928)

que mostra que os autovetores são ortogonais, e, portanro, linearmente independentes. A matriz $\rho$ procurada é, então,

$$\rho=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right)$$ (929)

Como $det \rho = -1$, ela possui inversa, que é

$$\rho^{-1}= \rho$$ (930)

Resta mostrar que

$$\rho^{-1}A\rho = \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right)$$ (931)

De fato,

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{ar... ...t)\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{rr} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right) = \frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 2 & 0\\ 0 & -2\end{array}\right)=$$

$$= \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right)$$ (932)

Exercícios

1.Ache a equação secular (também chamada de equação característica) e os autovalores da matriz

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$

2. Mostre que a matriz

$$B = \left(\begin{array}{cc} a & h\\ h & b \end{array}\right)$$

é transformada em uma matriz diagonal

$$C = T_{\theta}B \left(T_{\theta}\right)^{-1}$$

onde $T_{\theta}$ é

$$T_{\theta}= \left( \begin{array}{rr} \cos{\theta} & \sin{\theta}\\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array}\right)$$

e

$$\tan{2\theta} = \frac{2h}{a-b}$$

(transformação de Jacobi).

3. Determine os autovalores e autovetores da matriz

$$M=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -2 & 2\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & -1 \end{array}\right)$$

Resposta: $\lambda_1 = 1\;, \lambda_2=-2 \;,\lambda_3=3$.

4. No caso $l=1$, escreva a representação matricial $l_x$ do operador $\hat{l}_x$ na base em que $\hat{l}_z$ é diagonal. (São os elementos de matriz que calculamos em aula). Determine a transformação de semelhança que diagonaliza $l_x$ e exiba a matriz diagonalizada. Mostre que esta transformação de semelhança ``desdiagonaliza'' (perdão, Luis de Camões!) a matriz $l_z$.