Sistemas de dois níveis

Embora os sistemas da natureza tenham, em geral, um grande número de níveis, há situações em que apenas dois deles são relevantes. Um exemplo importante é este: uma onda eletromagnética, monocromática, de freqüência $\omega + \epsilon$ (com $\epsilon/\omega \ll 1$) incide sobre um átomo (de infinitos níveis de energia ), que tem, entre eles, dois de energia s tais que $E_{1}-E_{2}=\hbar\omega$. A freqüência da onda é muito próxima da diferença de níveis dividida por $\hbar$. Mostramos anteriormente que, neste caso, apenas os níveis $E_{1}$ e $E_{2}$ participam do processo, sendo, os outros, ``espectadores'', que podem, para este fim específico, ser ignorados.

Nesta seção vamos estudar sistemas idealizados que têm somente dois níveis de energia . Supondo que esses níveis não sejam degenerados, conclui-se que todo conjunto completo e linearmente independente de vetores de estado deste sistema possui apenas dois elementos: o conjunto de todos os estados forma, com as operações usuais de adição e multiplicação por um número complexo, um espaço vetorial complexo de dimensão 2, e o hamiltoniano, bem como todos os operadores lineares, podem ser representados por matrizes complexas $2\times 2$.

A equação de Schrödinger é escrita

$$i\hbar \frac{\partial \chi}{\partial t}=H \chi$$ (829)

e, supondo-se que o hamiltoniano não dependa explicitamente do tempo, pode-se-a integrar formalmente, obtendo

$$\chi (t)=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}\chi (0)\;.$$ (830)

Por causa da simplicidade do sistema, é possível escrever explicitamente o operador $\exp{(-\frac{i}{\hbar}Ht)}$. Os autoestados da energia , $\vert E_{1}\rangle$ e $\vert E_{2}\rangle$ satisfazem as equações

$$H\vert E_{1}\rangle = E_{1}\vert E_{1}\rangle$$ (831)

$$H\vert E_{2}\rangle = E_{2}\vert E_{2}\rangle$$ (832)

e todo estado $\chi$ pode ser expandido em termos deles³⁴:

$$\chi(t)=\vert\chi(t)\rangle = \left(\vert E_{1}\rangle \lan... ...ert E_{2}\rangle \langle E_{2}\vert\right)\vert\chi(t)\rangle$$ (833)

$$=\langle E_{1}\vert\chi(t)\rangle \vert E_{1}\rangle +\lan... ...angle=C_{1}(t)\vert E_{1}\rangle +C_{2}(t)\vert E_{2}\rangle$$ (834)

Uma função $f(H)$ do hamiltoniano é definida assim:

$$f(H)\vert\chi(t)\rangle = C_{1}(t)f(H)\vert E_{1}\rangle + ... ..._{1})\vert E_{1}\rangle + C_{2}(t)f(E_{2})\vert E_{2}\rangle$$ (835)

Usando-se esta operação mostra-se facilmente que

$$f(H)=f(E_{1})\frac{E_{2}\hat{1}-\hat{H}}{E_{2}-E_{1}} +f(E_{2})\frac{E_{1}\hat{1}-\hat{H}}{E_{1}-E_{2}}$$ (836)

que, usada para o operador de evolução temporal, dá:

$$e^{-\frac{i}{\hbar}Ht} = \frac{1}{E_{2}-E_{1}} \left(E_{2}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}-E_{1}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}\right)$$ (837)

$$+ \frac{\hat{H}}{E_{2}-E_{1}}\left(e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}-e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t} \right)$$

De posse deste resultado, podemos formular a pergunta: suponhamos que o sistema se encontre, em $t=0$, em um estado $\vert\chi(0)\rangle$. Qual é a probabilidade de que, decorridos $t$ segundos, ele permanecer no mesmo estado?

Se, em $t=0$, o estado é $\chi(0)$, teremos, no instante $t$,

$$\chi(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}\chi(0)$$ (838)

e, usando a expressão acima,

$$\chi(t) = \frac{\chi(0)}{E_{2}-E_{1}}\left(E_{2}e^{-\frac{i... ...}t}-e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}} {E_{2}-E_{1}}\hat{H}\chi (0)$$ (839)

Seja

$$\chi(0)=C_{1}\vert E_{1}\rangle + C_{2}\vert E_{2}\rangle$$ (840)

então,

$$\chi(t) = \frac{C_{1}\vert E_{1}\rangle + C_{2}\vert E_{2}\rangle}{E_{2}-E_{1}} \left(E_{2}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}-E_{1}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}\right)$$ (841)

$$= \frac{e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}-e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}} {E_{2}-E_{1}}\left(C_{1}E_{1}\vert E_{1}\rangle + C_{2}E_{2}\vert E_{2}\rangle\right)$$

A probabilidade de o sistema, em $t$, estar no mesmo estado, é obtida assim: existe uma base do espaço dos estados formada por $\vert\chi(0)\rangle$ e outros estados, ortogonais a ele. Expandimos $\vert\chi(t)\rangle$ nesta base:

$$\vert\chi(t)\rangle = a(t)\vert\chi(0)\rangle + \ldots$$ (842)

A probabilidade pedida é $\vert a(t)\vert^2$. Ora,

$$\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle = a(t)\langle \chi(0)\vert\chi(0)\rangle=a(t)\;.$$ (843)

Logo, a probabilidade é $\vert\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle\vert^2$. Vamos calcular $\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle$, a amplitude de probabilidade. Usando (839), temos

$$\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle = \frac{1}{E_{2}-E_{1}} \left(E_{2}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}-E_{1}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}\right)$$ (844)

$$+ \frac{e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}-e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}}{E_{2}-E_{1}} \langle \chi(0)\vert\hat{H}\vert\chi(0)\rangle$$

Como

$$\langle \chi(0)\vert\hat{H}\vert\chi(0)\rangle= \left(C_{1}... ...gle\right) = \vert C_{1}\vert^2E_{1}+\vert C_{2}\vert^2E_{2}$$

Então,

$$\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle = \frac{1}{E_{2}-E_{1}} \left(E_{2}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}-E_{1}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}\right)$$

$$+ \left(\vert C_{1}\vert^2E_{1}+\vert C_{2}\vert^2 E_{2}\right) \frac{e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}-e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}}{E_{2}-E_{1}}$$ (845)

Suponhamos que $\vert C_{1}\vert^2=1$ e $\vert C_{2}\vert^2=0$. Então, após uma álgebra simples,

$$\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}$$ (846)

logo,

$$\vert\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle\vert^2=1$$ (847)

isto é, um sistema que está num estado estacionário permanece nele (daí se chamar estacionário!).

É fácil mostrar que os estados estacionários são os únicos que possuem esta propriedade. De fato, se

$$\chi(t) = e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}\chi(0)$$ (848)

$$\chi(0) = C_{1}\vert E_{1}\rangle + C_{2}\vert E_{2}\rangle$$ (849)

$$\vert\chi(t)\rangle = C_{1}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}\vert E_{1}\rangle+C_{2}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}\vert E_{2}\rangle$$ (850)

$$\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle = \vert C_{1}\vert^2e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}+\vert C_{2}\vert^2e^{-\frac{i}{\hbar}E_{2}t}$$ (851)

$$\vert\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle\vert^2 = \vert C_{1}\vert^4 + \vert C_{2}\vert^4 + 2\vert C_{1}\vert^2\vert C_{2}\vert^2 \cos{\frac{1}{\hbar}(E_{1}-E_{2})t}$$ (852)

Para que $\vert\langle \chi(0)\vert\chi(t)\rangle\vert^2=1$ para todo $t$, temos de ter ou $C_{1}=0$ ou $C_{2}=0$. Em qualquer dos casos o outro coeficiente é de módulo 1, pois $\vert C_{1}\vert^2+\vert C_{2}\vert^2=1$. Logo, $\chi(0)=\vert E_{1}\rangle$ ou $\chi(0)=\vert E_{2}\rangle$.

Tomemos agora uma base arbitrária do espaço dos estados, formada por $\vert\phi_{1}\rangle$ e $\vert\phi_{2}\rangle$. O estado $\vert\chi(t)\rangle$ é expandido, nesta base, como

$$\vert\chi(t)\rangle=\left(\vert\phi_{1}\rangle \langle\phi_... ...e + \langle \phi_{2}\vert\chi(t)\rangle \vert\phi_{2}\rangle$$ (853)

Introduzindo a notação

$$\chi_{i}(t)\equiv \langle \phi_{i}\vert\chi(t)\rangle \;,$$

temos

$$\vert\chi(t)\rangle = \chi_{1}(t)\vert\phi_{1}\rangle + \chi_{2}(t)\vert\phi_{2}\rangle$$ (854)

A equação de Schrödinger é

$$i\hbar \frac{\partial \vert\chi(t)\rangle}{\partial t} = \... ...\vert\phi_{1}\rangle +\chi_{2}(t)\hat{H}\vert\phi_{2}\rangle$$ (855)

e, tomando os produtos escalares com $\vert\phi_{i}\rangle$,

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle \phi_{1}\vert\chi(t)\rangle = \chi_{1}(t) \langle \phi_{1}\vert H\vert\phi_{1}\rangle + \chi_{2}(t)\langle \phi_{1}\vert H\vert\phi_{2}\rangle$$ (856)

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle \phi_{2}\vert\chi(t)\rangle = \chi_{1}(t) \langle \phi_{2}\vert H\vert\phi_{1}\rangle + \chi_{2}(t)\langle \phi_{2}\vert H\vert\phi_{2}\rangle$$ (857)

Denotando $\langle \phi_{i}\vert H\vert\phi_{j}\rangle$ por $H_{ij}$, temos

$$i\hbar \frac{\partial \chi_{1}}{\partial t} = H_{11}\chi_{1} + H_{12}\chi_{2}$$ (858)

$$i\hbar \frac{\partial \chi_{2}}{\partial t} = H_{21}\chi_{1} + H_{22}\chi_{2}$$ (859)

Para estados estacionários, $H_{12}=H_{21}=0$. Logo, os elementos de matriz $H_{21}$ e $H_{12}$ promovem as transições entre estados.

De fato, seja $\vert\phi_{1}\rangle$ um dos estados da base.

$$\vert\phi_{1}(t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}\vert\phi_{1}\rangle$$ (860)

$$= \frac{\vert\phi_{1}\rangle}{E_{2}-E_{1}} \left(E_{2}e^{-\frac{i}{... ...ar}E_{2}t}-e^{-\frac{i}{\hbar}E_{1}t}}{E_{2}-E_{1}} \hat{H}\vert\phi_{1}\rangle$$ (861)

Qual é a probabilidade de que, em algum $t$, o sistema se encontre em $\vert\phi_{2}\rangle$? A amplitude é dada por

$$\langle \phi_{2}\vert\phi_{1}(t)\rangle= \frac{e^{-\frac{i... ..._{2}-E_{1}} \langle \phi_{2}\vert\hat{H}\vert\phi_{1}\rangle$$ (862)

Não há transição se $H_{21}=0$.

As equações (863) são as Eqs.(8.43) do Volume III das ``Feynman Lectures on Physics'', que as utiliza para um grande número de aplicações interessantes. Vamos fazer o mesmo.