O poço duplo.

A energia potencial $U(x)$ consiste de dois poços de potencial simétricos, separados por uma barreira. Na figura abaixo os poços são as regiões I e II, e a barreira tem altura $U_{0}$. Se a barreira fosse impenetrável, haveria níveis de energia relativos ao movimento da partícula em um ou outro dos dois poços, ou seja, duas famílias de níveis iguais, uma em cada poço. O fato de que o tunelamento através da barreira existe na mecânica quântica faz com que cada um dos níveis relativos ao movimento em um dos poços se separe em dois níveis próximos, correspondendo agora a estados da partícula em que ela está nos dois poços.

A determinação deste desdobramento de níveis é simples no caso em que se pode usar a aproximação quase clássica. É o que faremos agora. Uma solução aproximada da equação de Schrödinger para a energia potencial $U(x)$, desprezando a probabilidade de passagem pela barreira, pode ser construída com a função quase-clássica $\psi_{0}(x)$, que descreve o movimento com uma certa energia $E_{0}$ em um dos poços (digamos, o poço I), e que é exponencialmente decrescente em ambos os lados do poço I. A normalização aproximada desta função é

$$\int_{0}^{\infty}\psi_{0}^2dx = 1$$ (804)

Portanto, para $\psi_{0}$, temos satisfeita a equação de Schrödinger

$$\frac{d^2\psi_{0}}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-U(x)\right)\psi_{0}(x)=0$$ (805)

no seguinte sentido: para $x<0$ a equação é aproximadamente satisfeita porque, tanto $\psi_{0}(x)$ quanto sua derivada segunda, nesta região, são aproximadamente nulas.


Estaremos usando, sem mencionar mais, os seguintes fatos: no caso de um sistema unidimensional confinado, isto é, impedido de alcançar o infinito, a função de onda pode ser tomada como real, e os níveis de energia não são degenerados.


O produto $\psi_{0}(x)\psi_{0}(-x)$, para $x>0$, é desprezível. O potencial como um todo é simétrico. A equação de Schrödinger

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-U(x)\right)\psi(x)=0$$ (806)

permanece válida quando se troca $x$ por $-x$. Logo, se $\psi(x)$ é uma função de onda, $\psi(-x)$ também o é, para o mesmo valor de $E$. Como não há degenerescência, temos

$$\psi(-x)=e^{i\alpha}\psi(x) \;\;\mbox{para} \;\; \alpha \;\;\mbox{real}$$ (807)

Logo,

$$\psi(x) = e^{i\alpha}\psi(-x)=e^{2i\alpha}\psi(x)$$ (808)

e portanto $e^{2i\alpha}=1$, de onde segue que $\alpha = n\pi$. Temos, em conseqüência,

$$\psi(-x)=\psi(x)$$ (809)

ou

$$\psi(-x)=-\psi(x)$$ (810)

As autofunções da energia deste sistema são, portanto, funções pares ou ímpares de $x$. Isto é uma conseqüência de que $U(-x)=U(x)$. As funções de onda corretas, na aproximação quase-clássica, são obtidas construíndo, a partir de $\psi_{0}$, as funções $\psi_{1}$, simétrica, e $\psi_{2}$, anti-simétrica:

$$\psi_{1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{0}(x)+\psi_{0}(-x)\right]$$ (811)

$$\psi_{2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{0}(x)-\psi_{0}(-x)\right]$$ (812)

Note que a função $\psi_{0}(x)$ não é autofunção do hamiltoniano com a energia potencial $U(x)$, simétrica: é a função de onda que teríamos de a barreira fosse impenetrável. Tanto que $\psi_{0}(-x)$ é desprezível, enquanto que $\psi_{0}(x)$ não o é. De novo, como os níveis não são degenerados, devemos ter energia s diferentes para $\psi_{1}$ e $\psi_{2}$. Sejam

$$\frac{d^2\psi_{1}}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E_{1}-U(x)\right)\psi_{1}(x)=0$$ (813)

a equação de Schrödinger para $\psi_{1}$, e

$$\frac{d^2\psi_{2}}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E_{2}-U(x)\right)\psi_{2}(x)=0$$ (814)

aquela para $\psi_{2}$. Multiplicando (806) por $\psi_{1}$ e (814) por $\psi_{0}$ e subtraíndo, temos

$$\psi_{1}\psi_{0}^{\prime \prime}-\psi_{0}\psi_{1}^{\prime \... ... \frac{2m}{\hbar^2}\left(E_{0}-E_{1}\right)\psi_{0}\psi_{1}=0$$ (815)

ou

$$\frac{d}{dx}\left(\psi_{1}\psi_{0}^{\prime}-\psi_{0}\psi_{1... ... = \frac{2m}{\hbar^2}\left(E_{1}-E_{0}\right)\psi_{0}\psi_{1}$$ (816)

Integrando de $0$ a $\infty$:

$$\int_{0}^{\infty}dx \frac{d}{dx}\left(\psi_{1}\psi_{0}^{\pr... ...left(E_{1}-E_{0}\right) \int_{0}^{\infty}dx \psi_{0}\psi_{1}$$ (817)

$$\left(\psi_{1}\psi_{0}^{\prime}-\psi_{0}\psi_{1}^{\prime}\right)_{0}^{\infty} = \frac{2m}{\hbar^2}\left(E_{1}-E_{0}\right)\frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\infty}dx \psi_{0}\left(\psi_{0}(x)+\psi_{0}(-x)\right)$$ (818)

$$\approx \frac{2m}{\hbar^2}(E_{1}-E_{0})\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\infty}\psi_{0}^2$$

onde usamos o fato de $\psi_{0}(x)\psi_{0}(-x)$ ser muito pequeno. Lembrando que as funções que aparecem no primeiro membro se anulam no infinito, temos

$$\psi_{0}(0)\psi_{1}^{\prime}(0)-\psi_{1}(0)\psi_{0}^{\prime}(0) = \frac{m}{\sqrt{2}\hbar^2}(E_{1}-E_{0})$$ (819)

Seja $f(x)$ uma função par. Então,

$$f(-x) = f(x)$$ (820)

Consideremos agora a função $\frac{df(x)}{dx}$. Trocando $x$ por $-x$,

$$\frac{df(x)}{dx} \rightarrow -\frac{df(-x)}{dx}$$ (821)

Logo,

$$\frac{df(-x)}{dx}=-\frac{df(x)}{dx}$$ (822)

ou seja, se $f$ é par, $f^{\prime}$ é ímpar.

Voltando à (820),

$$\psi_{1}(0)=\frac{1}[\sqrt{2}\left[\psi_{0}(0)+\psi_{0}(0)\right]=\sqrt{2}\psi_{0}(0)$$ (823)

enquanto

$$\psi_{1}^{\prime}=0 \;,$$ (824)

levando a

$$E_{1}-E_{0}=-\frac{\hbar^2}{m}\psi_{0}(0)\psi_{0}^{\prime}(0)$$ (825)

Repetindo agora o cálculo com $\psi_{2}$ e $\psi_{0}$, obtemos, ao longo dos mesmos passos,

$$E_{2}-E_{0}=\frac{\hbar^2}{m}\psi_{0}(0)\psi_{0}^{\prime}(0)$$ (826)

Subtraíndo, obtemos

$$E_{2}-E_{1}=\frac{2\hbar^2}{m}\psi_{0}\psi_{0}^{\prime}(0)$$ (827)

Um cálculo mais refinado leva ao resultado

$$E_{2}-E_{1}=C e^{-\frac{1}{\hbar}\int_{-a}^{a}\vert p\vert dx}$$ (828)

onde $C$ é uma constante, e $-a$ e $a$ são indicados na figura. A eq.(829) torna explícito o papel do tunelamento na separação dos níveis de energia .