Perturbação periódica próxima à ressonância

Considere a perturbação periódica

$$\hat{V}=\hat{F}e^{-i\omega t} + \hat{G}e^{i\omega t}$$

de freqüência $\omega$ tal que $E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}=\hbar( \omega + \epsilon)$ onde $\epsilon$ é pequeno. A equação básica é (604),

$$i\hbar\frac{da_{m}}{dt}=\sum_{k}V_{mk}(t)a_{k}$$ (621)

com

$$V_{mk}(t)=F_{mk}e^{i(\omega_{mk}-\omega)t}+F_{km}^{*}e^{i(\omega_{mk}+\omega)t}$$ (622)

Esta expressão contém expoentes de tamanhos diversos, um dos quais, $\epsilon$, é particularmente pequeno, aparecendo nas combinações $\omega_{mn}-\omega$ e $\omega_{nm}+\omega$. Como a solução de (604) envolve uma integração do segundo membro no tempo, usaremos o fato de que, quando um integrando possui vários termos oscilantes, a contribuição dominante é a daquele termo que oscila menos. A base matemática rigorosa para isto é o lema de Riemann-Lebesgue²⁸. Podemos, então, aproximar as equações (604) por

$$i\hbar \frac{da_{m}}{dt}=F_{mn}e^{i(\omega_{mn}-\omega)t} =F_{mn}e^{i\epsilon t}a_{n}$$ (623)

e

$$i\hbar\frac{da_{n}}{dt}=F_{mn}^*e^{-i\epsilon t}a_{m}$$ (624)

Introduzindo a quantidade auxiliar

$$b_{n}=a_{n}e^{i\epsilon t}$$

temos, para (624),

$$i\hbar \dot{a_{m}}=F_{mn}b_{n}\; .$$ (625)

Substituindo, em (625), $a_{n}$ em termos de $b_{n}$, ficamos com

$$i\hbar \frac{d}{dt}\left(b_{n}e^{-i\epsilon t}\right)=F_{mn}^* e^{-i\epsilon t}a_{m}$$ (626)

ou

$$i\hbar\left(\dot{b_{n}}-i\epsilon b_{n}\right)=F_{mn}^* a_{m}$$ (627)

Derivando mais uma vez,

$$i\hbar\left(\ddot{b_{n}}-i\epsilon \dot{b_{n}}\right) =F_{mn}^*\dot{a_{m}}$$ (628)

que, usada em (626), dá

$$\ddot{b_{n}}-i\epsilon \dot{b_{n}}+\frac{1}{\hbar^2} \vert F_{mn}\vert^2 b_{n}=0$$ (629)

Trata-se agora de resolver esta equação diferencial linear a coeficientes constantes. Para isto existe um algoritmo bem conhecido: como todas as soluções de equações deste tipo podem ser escritas como exponenciais, procura-se a solução como uma exponencial genérica, escrita como

$$b_n = e^{at}$$

com $a$ a determinar. Temos $\dot{b_{n}}=ae^{at}$ e $\ddot{b_{n}}=a^2e^{at}$. Inserindo estas expressões em (630) e cancelando a exponencial comum, obtemos

$$a^2-i\epsilon a+\frac{1}{\hbar^2}\vert F_{mn}\vert^2=0$$ (630)

que é um equação do segundo grau. As soluções são

$$a=\frac{i\epsilon \pm \sqrt{-\epsilon^2 -\frac{4}{\hbar^2} \vert F_{mn}\vert^2}}{2}$$ (631)

Para simplificar esta expressão introduzimos algumas abreviações:

$$\begin{eqnarray*} \eta & = & \frac{F_{mn}}{\hbar}\\ \Omega & = & \sqrt{\frac{\epsilon^2}{4}+\vert\eta\vert^2} \end{eqnarray*}$$

Usando esta notação as soluções (632) podem ser escritas

$$\begin{eqnarray*} a_{1} & = & i\frac{\epsilon}{2}+i\Omega\\ a_2 & = & \frac{i\epsilon}{2}-i\Omega \end{eqnarray*}$$

e, portanto,

$$b_{n}^{(1)} = e^{i\left(\frac{\epsilon}{2}+\Omega\right)t}$$ (632)

$$b_{n}^{(2)} = e^{i\left(\frac{\epsilon}{2}-\Omega\right)t}$$ (633)

Como $a_{n}=b_{n}e^{-i\epsilon t}$, obtemos

$$a_{n}^{(1)} = e^{i\left(-\frac{\epsilon}{2}+\Omega\right)t}$$ (634)

$$a_{n}^{(2)} = e^{i\left(-\frac{\epsilon}{2}-\Omega\right)t}$$ (635)

Finalmente, introduzindo

$$\begin{eqnarray*} \alpha_{1} & = & -\frac{\epsilon}{2}+ \Omega\\ \alpha_{2} & = & \frac{\epsilon}{2}+\Omega \end{eqnarray*}$$

chegamos a

$$a_{n}^{(1)} = A e^{i\alpha_{1}t}$$ (636)

$$a_{n}^{(2)} = B e^{-i\alpha_{2}t}$$ (637)

$$a_{m}^{(1)} = -\frac{A\hbar \alpha_{1}}{F_{mn}^*}e^{i\alpha_1 t}$$ (638)

$$a_{m}^{(2)} = \frac{B\hbar \alpha_{2}}{F_{mn}^*}e^{-i\alpha_{2}t}$$ (639)

onde, para obter as duas últimas, usamos a eq.(625).

Note-se que um par ( $a_{n}^{(i)},a_{m}^{(i)}$) representa uma função de onda

$$a_{n}^{(i)}\psi_{n}^{(0)}+a_{m}^{(i)}\psi_{m}^{(0)}$$ (640)

A solução mais geral é dada por uma combinação linear dessas soluções, para $i=1$ e $i=2$. Como cada uma já foi escrita com uma constante multiplicativa arbitrária, temos

$$\psi = \left(a_{n}^{(1)}+a_{n}^{(2)}\right)\psi_{n}^{(0)}+ \left(a_{m}^{(1)}+a_{m}^{(2)}\right)\psi_{m}^{(0)}$$ (641)

ou

$$\psi=\left(Ae^{i\alpha_1t}+Be^{-i\alpha_2t}\right)\psi_{n}... ...\hbar \alpha_2}{F_{mn}^*}e^{-i\alpha_2t}\right)\psi_{m}^{(0)}$$ (642)

Como condição inicial, queremos que, para $t=0$, $\psi=\psi_{m}^{(0)}$. Tomando $t=0$ na eq.(643), vemos que devemos ter

$$A+B = 0$$ (643)

$$\frac{\hbar}{F_{mn}^*}\left(-A\alpha_1 + B\alpha_2\right) = 1$$ (644)

Conseqüentemente,

$$B=-A = \frac{F_{mn}^*}{\hbar(\alpha_1+\alpha_2)}$$ (645)

Note-se ainda que $\alpha_1 + \alpha_2 = 2\Omega$. A expressão para $\psi$ é, então:

$$\psi=\frac{1}{2\Omega}\left(\alpha_1e^{i\alpha_1t}+\alpha_2... ...}\left(e^{i\alpha_1 t}-e^{-i\alpha_2t} \right)\psi_{n}^{(0)}$$ (646)

O coeficiente de $\psi_{m}^{(0)}$ na equação anterior, depois de alguma álgebra, é escrito:

$$e^{-i\frac{\epsilon}{2}t}\left[\cos{\Omega t}-\frac{i\epsilon}{2\Omega} \sin{\Omega t}\right]$$ (647)

e o de $\psi_{n}^{(0)}$ dá

$$-i\frac{\eta^*}{\Omega}e^{-i\frac{\epsilon}{2}t}\sin{\Omega t}$$ (648)

de modo que

$$\psi=e^{-i\frac{\epsilon}{2}t}\left[\left(\cos{\Omega t}-\f... ...i\frac{\eta^*}{\Omega}\sin{\Omega t}\; \psi_{n}^{(0)}\right]$$ (649)

O sistema inicia (em $t=0$) no estado $\psi_{m}^{(0)}$. A probabilidade de ele estar, no instante $t$, no estado $\psi_{n}^{(0)}$, é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente de $\psi_{n}^{(0)}$, que é

$$\frac{\vert\eta\vert^2}{\omega^2}\sin^2{\Omega t}=\frac{\vert\eta\vert^2}{2\Omega^2}(1-\cos{2\Omega t})$$ (650)

Na ressonância, isto é, para $\epsilon = 0$, temos $\Omega =\sqrt{\frac{\epsilon^2}{4}+\vert\eta\vert^2}=\vert\eta\vert$, logo, a probabilidade da transição é dada por

$$\frac{1}{2}(1-\cos{2\vert\eta\vert t})$$ (651)

que varia periodicamente entre $0$ e $1$. Isto significa que, na ressonância, o sistema realiza transições periódicas entre $\psi_{m}^{(0)}$ e $\psi_{n}^{(0)}$. Note que a freqüência dessas transições não depende de nenhuma das freqüências presentes: ela é determinada por $\vert\eta\vert$, ou seja, pela intensidade da perturbação.