A notação de Dirac

Neste nosso tratamento elementar de mecânica quântica, consideraremos o simbolismo introduzido por Dirac, que tem um significado matemático não-trivial, como uma notação. Para fazer total justiça ao método, o leitor faria bem em consultar a obra original de Dirac [1] . Para uma apresentação mais adaptada à linguagem matemática contemporânea, veja [2].

Um vetor do espaço dos estados é descrito por um símbolo $\vert\;\rangle$, que se pronuncia ket . Um elemento do dual desse espaço é denotado por $\langle \; \vert$, e denominado $bra$. O produto escalar dos estados $\vert a\rangle$ e $\vert b\rangle$ é denotado por $\langle b\vert a \rangle$, e se trata de um bra(c)ket , justificando os nomes.

Seja $\hat{O}$ um operador. Denotaremos por $\vert o \rangle$ seus autoestados, de modo que

$$\hat{O}\vert o\rangle = o \vert o \rangle$$

onde os números $o$ são os autovalores .
Os autoestados do operador de posição

$$\hat{\vec{x}}=\hat{x}\vec{i}+\hat{y}\vec{j}+\hat{z}\vec{k}$$

são denotados por $\vert\vec{x}\rangle$. O símbolo $\langle \vec{x}\vert o \rangle$ descreve o estado $\vert o \rangle$ na representação das coordenadas:

$$\langle \vec{x}\vert o\rangle = \psi_{o}(\vec{x})$$

Alguns exemplos:

O hamiltoniano $\hat{H}$ tem seus autoestados, $\vert n\rangle$, e autovalores , $E_{n}$, ligados pela relação

$$\hat{H} \vert n\rangle = E_{n} \vert n\rangle$$

A condição de ortonormalidade desses autoestados é escrita

$$\langle n^{\prime}\vert n \rangle = \delta_{n n^{\prime}}$$

Os autoestados comuns a $\hat{\vec{l}}^2$ e $\hat{l}_z$ são denotados por $\vert lm\rangle$, e as seguintes equações são satisfeitas:

$$\begin{eqnarray*} \hat{\vec{l}}^2 \vert lm\rangle & = & l(l+1)\vert lm\rangle \\ \hat{l}_z \vert lm\rangle & = & m \vert lm \rangle \end{eqnarray*}$$

Seja uma base do espaço dos estados formada pelos kets $\vert n\rangle$, $\vert n^{\prime}\rangle$, $\vert n^{\prime \prime}\rangle$, etc. e seja $\hat{O}$ um operador. Então, os elementos de matriz de $\hat{O}$ nessa base serão os números complexos

$$\langle n^{\prime}\vert\hat{O}\vert n\rangle$$

Note-se que:

$$\begin{eqnarray*} \langle a\vert b\rangle & = & (\langle b\vert a\rangle)^*\ ... ...vert b \rangle & = & (\langle b\vert\hat{O}^+\vert a \rangle)^* \end{eqnarray*}$$

Muito importante na notação de Dirac é uma classe de operadores que se escrevem assim:

$$\vert a\rangle \langle b\vert$$

e são definidos pela sua ação sobre um kets arbitrário $\vert\;\rangle$:

$$\vert a \rangle \langle b\vert(\vert\;\rangle)= \langle b\vert\;\rangle \vert a \rangle$$

Sejam $\vert n\rangle$ autoestados de um operador hermiteano. Então, a relação de completude se escreve

$$\sum_{n}\vert n\rangle \langle n\vert = \hat{1}$$

Quando o espectro é contínuo, por exemplo, no caso do operador de posição, a soma é substituída por uma integral:

$$\int d\vec{x}\;\; \vert\vec{x}\rangle \langle \vec{x}\vert = \hat{1}$$

O principal uso dessas representações do operador $\hat{1}$ é o seguinte: seja $\langle n\vert n^{\prime}\rangle$ um produto escalar. Então,

$$\langle n\vert n^{\prime}\rangle=\langle n\vert\hat{1}\vert... ...}\rangle \langle \vec{x}\vert\right) \vert n^{\prime}\rangle$$

e, como $\langle \vec{x}\vert n \rangle=\psi_{n}(\vec{x})$,

$$\langle n\vert n^{\prime}\rangle=\int d\vec{x}\psi_{n}^*(\vec{x}) \psi_{n^{\prime}}(\vec{x})$$

mostrando que efetivamente se trata do produto escalar anteriormente introduzido. Considere os operadores $\hat{A}$ e $\hat{B}$ e o seu produto, $\hat{A}\hat{B}$. Seja $\vert n\rangle$ uma base. Os elementos de matriz do operador produto nessa base são

$$\begin{eqnarray*} \langle n\vert\hat{A}\hat{B}\vert n^{\prime}\rangle & = & \l... ...e \langle n^{\prime \prime}\vert\hat{B}\vert n^{\prime}\rangle \end{eqnarray*}$$

que exibe a expressão correta para o produto clássico de matrizes.

Seja $\vert n\rangle$ um estado qualquer. Sua função de onda na representação das coordenadas é, como vimos,

$$\psi_{n}(\vec{x})= \langle \vec{x}\vert n \rangle$$

Sejam $\vert\vec{p}\rangle$ os autoestados do momento , e

$$\int d\vec{p}\;\;\vert\vec{p}\rangle \langle \vec{p}\vert=\hat{1}$$

sua relação de completude. Então, a função de onda de $\vert n\rangle$ na representação do momento é

$$\langle \vec{p}\vert n\rangle = \int d\vec{x} \langle \vec{p}\vert\vec{x}\rangle\langle \vec{x}\vert n\rangle$$

que pode ser escrita

$$\psi_{n}(\vec{p})=\int d\vec{x} \; \langle \vec{p}\vert\vec{x}\rangle \; \psi_{n}(\vec{x})$$

Daqui, por comparação com um resultado anterior pode-se inferir que

$$\langle \vec{p}\vert\vec{x}\rangle =\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} \exp{\left(\frac{i}{\hbar}\vec{p}.\vec{x}\right)}$$ (382)

Uma dedução direta deste resultado é a seguinte:

$$\begin{eqnarray*} \langle p\vert\hat{p}\vert x \rangle & = & p\langle p\vert x \rangle\\ & = & -i\hbar\frac{d}{dx}\langle p\vert x \rangle \end{eqnarray*}$$

Igualando os dois segundos membros, temos

$$-i\hbar \frac{d}{dx}\;\langle p\vert x\rangle = p\langle p\vert x \rangle$$

ou

$$\frac{d\;\langle p\vert x \rangle}{\langle p\vert x \rangle}= \frac{i}{\hbar}pdx$$

de onde segue que

$$\langle p\vert x \rangle = Ae^{\frac{i}{\hbar}px}$$

Para determinar $A$, note-se que

$$\langle p\vert x \rangle \langle x\vert p^{\prime} \rangle ... ...ert A\vert^2\exp{\left(\frac{i}{\hbar}(p-p^{\prime})x\right)}$$

e, integrando em $x$,

$$\int dx \langle p\vert x \rangle \langle x\vert p^{\prime} ... ...rt^2\int dx \exp{\left(\frac{i}{\hbar}(p-p^{\prime})x\right)}$$

Mas

$$\int dx \langle p\vert x \rangle \langle x\vert p^{\prime} ... ...gle= \langle p\vert p^{\prime}\rangle = \delta(p-p^{\prime})$$

Logo,

$$\delta(p-p^{\prime})=\vert A\vert^2 2\pi \delta(\frac{p}{\h... ...rime}}{\hbar}) =\vert A\vert^2 2\pi\hbar\delta(p-p^{\prime})$$

Logo,

$$A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$$

e

$$\langle p\vert x \rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}px}$$

que é a versão unidimensional da Eq.(383).