Potenciais com simetria central

Chamam-se assim os potenciais que, expressos em coordenadas esféricas, são funções apenas da variável radial $r$. O caso mais importante, naturalmente, é o do átomo de Hidrogênio. Vamos tratar primeiramente o caso geral.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\; \vec{\nabla}^2\psi(r,\theta,\phi)+V(r)\psi(r,\theta,\phi) = E\psi(r,\theta,\phi)$$ (330)

é a equação de Schrödinger para estados estacionários de uma partícula de massa $m$ cuja energia potencial depende apenas da distância à origem. Utilizando coordenadas esféricas, temos

$$\vec{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\l... ...ac{\partial}{\partial r}\right)- \frac{\hat{\vec{l}}^2}{r^2}$$ (331)

onde

$$\hat{\vec{l}}^2=-\left(\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\parti... ... \theta}(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta})\right)$$ (332)

é o operador de momento angular total (veja Eq.(294) e anteriores).

Vamos procurar soluções da Eq.(331) que sejam da forma

$$\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta, \phi)$$

Como $\hat{\vec{l}}^2Y_{lm}=l(l+1)Y_{lm}$, tem-se

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left\{\frac{1}{r^2}Y_{lm}(\theta,\phi) \frac{... ...ft(r^2\frac{dR}{dr}\right)-\frac{R(r)}{r^2}l(l+1)Y_{lm}(\theta,\phi) \right\} +$$

$$+ V(r)R(r)Y_{lm}(\theta, \phi)=E R(r) Y_{lm}(\theta, \phi)$$ (333)

Cancelando $Y_{lm}$,

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\;\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left(r^2\f... ...}{dr}\right)+ \frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}R(r)+V(r)R(r)=ER(r)$$ (334)

Introduzimos agora a função

$$u(r)=r R(r)$$

satisfazendo $u(0) = 0$. Reescrevendo a Eq.(334) em termos de $u(r)$, obtém-se

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2}+\left[\frac{\hbar^2 l(l+1)} { 2mr^2} + V(r)\right]u(r)=Eu(r)$$ (335)

Esta é a chamada equação radial de Schrödinger, e contém toda a dinâmica. Lembrando a condição $u(0) = 0$, decorrência de que $u(r)=rR(r)$ com $R(r)$ regular na origem (os casos interessantes fisicamente não são aqueles em que a partícula tem probabilidade zero de estar em qualquer lugar que não a origem!), podemos interpretar a equação acima como uma equação de Schrödinger de um movimento unidimensional sujeito aos seguintes ``potenciais'':(a) Uma parede impenetrável em $r=0$, que impede a passagem da partícula para valores negativos de $r$. (b) Um potencial do tipo $\frac{1}{r^2}$ repulsivo, chamado de potencial centrífugo. (c) O verdadeiro potencial, $V(r)$.
O potencial centrífugo vem do fato de que a eliminação das variáveis $\theta$ e $\phi$, é formalmente eqüivalente a colocar-se em um sistema de referência que ``gira'' com o sistema físico, ou seja, em um sistema não-inercial. Surgem, então, as chamadas forças de inércia, das quais a força centrífuga é a mais popular.¹⁹