Algumas técnicas matemáticas

A função delta de Dirac

Considere a função $\delta_{\epsilon}(p)$, definida assim:

$$\begin{eqnarray*} \delta_{\epsilon}(p) & = & 0 \;\; para \;\; p > \epsilon \ ... ... & \frac{1}{2\epsilon} \;\; para \;\; -\epsilon < p < \epsilon \end{eqnarray*}$$

Temos, claramente,

$$\int _{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}(p) dp = \int_{-\epsilon}^{\epsilon}\frac{1}{2\epsilon}dp =1$$ (181)

Seja $f(p)$ uma função contínua. Então,

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(p^{\prime})\delta_{\epsilon}(p-p^{... ...ilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon}f(p^{\prime})dp^{\prime}$$ (182)

No limite para $\epsilon \rightarrow 0$, esta última integral dá

$$2\epsilon f(p)$$

de forma que a Eq.(182) pode ser escrita

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(p^{\prime})\delta_{\epsilon}(p-p^{\prime}) dp^{\prime} = f(p)$$ (183)

A função delta de Dirac, $\delta(p)$ é definida, simbolicamente, como o limite, para $\epsilon \rightarrow 0$, da função $\delta_{\epsilon}(p)$. Suas propriedades, que podem ser motivadas por esse limite, podem ser sintetizadas assim:

$$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx & = & 1\\ \delta(x) & ... ...q 0\\ \int_{-\infty}^{\infty}dx \; f(x)\delta(x-a) & = & f(a) \end{eqnarray*}$$

Nessas relações a integral não precisa realmente ir de $-\infty$ a $\infty$. Basta que seja em um intervalo que contenha o ponto em que o argumento da função delta se anula.

Estritamente, tal função não existe. Trata-se de um símbolo que abrevia muito os cálculos. Atendo-se às regras exibidas, nenhum dano é causado, a não ser à lógica, a vítima usual. A teoria que justifica essas operações e restitui a implacabilidade da lógica foi desenvolvida pelo grande matemático francês Laurent Schwartz, e se chama ``teoria das distribuições''. Para um tratamento adequado da ``função delta'' recomendamos as notas que se encontram no site do professor João Carlos Alves Barata,no endereço:

http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/arquivos/nc-cap12.pdf

Outras relações importantes envolvendo a ``função delta'' são as seguintes:

$$\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dk e^{i k x}$$ (184)

$$\delta(-x) = \delta(x)$$ (185)

$$\delta\left(f(x)\right) = \frac{1}{\vert\frac{df}{dx}\vert _{x=x_0}}\delta(x-x_0)\;\;, sendo \;\; f(x_0)=0$$ (186)

$$\delta(ax) = \frac{1}{\vert a\vert}\delta(x)$$ (187)

$$\delta(\vec{r}) = \delta(x)\delta(y)\delta(z)$$ (188)

onde, nesta última, se tem $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

Integral de Fourier

A integral de Fourier é instrumento fundamental na mecânica quântica. Trata-se de uma extensão das séries de Fourier que permite obter expansões de funções que não são periódicas. Este não é o lugar para se adquirir fluência no uso, e uma boa compreensão dos métodos da análise de Fourier. O leitor deverá dedicar algum estudo a este tópico, presente em todos os livros de física-matemática. De minha parte recomendo o livro de Arnold Sommerfeld, Partial Differential Equations of Physics. Um belíssimo livro de matemática sobre este mesmo tema, é Körner, Fourier Analysis, um dos livros mais bonitos que já li.

A integral, ou transformada, de Fourier de uma função $f(x)$, é uma função $\tilde{f}(k)$ a ela ligada pelas relações

$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}dk \tilde{f}(k) e^{ikx}$$ (189)

$$\tilde{f}(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx}$$ (190)

Pode-se verificar a consistência dessas relações com o uso da funçao $\delta(x)$:

$$\begin{eqnarray*} f(x) & = & \int_{-\infty}^{\infty}dk\left(\frac{1}{2\pi} \in... ...k(x-y)}\\ & = & \int_{-\infty}^{\infty}f(y)\delta(x-y) = f(x) \end{eqnarray*}$$

A transformada de Fourier de uma função constante, $f(x) = K$, é:

$$\tilde{f(k)} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dx K e^... ...\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dx e^{-ikx} = K\delta(x)$$

ou seja, a transformada de Fourier de uma constante é um múltiplo de $\delta(x)$. Um outro resultado importante é a transformada de Fourier de uma gaussiana: seja $f(x) = \exp{^{-\alpha x^2}}$. Sua transformada de Fourier é

$$\tilde{f}(k) = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{k^2}{4\alpha}}$$

ou seja, a transformada de Fourier de uma gaussiana é outra gaussiana.