... vida¹

``The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with their properties and uses'' (Dirac).

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... arbitr\'aria²

Isto não está em contradição com as relações de incerteza. Elas dizem que não é possível determinar simultaneamente posição e momento .

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... qu\^antico³

Abuso de linguagem. Todos os sistemas são quânticos. A expressão correta seria ``sistema incorretamente descrito pela física clássica''.

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... coordenadas⁴

Ou melhor, o elemento de volume em termos dessas coordenadas.

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... \'e.⁵

Na realidade, há quantidades físicas também da forma

$$\int dq \psi^*(q) \phi(q) \xi(q)$$

onde $\xi(q)$ é outra função de onda. Como essas quantidades também devem permanecer inalteradas, é necessário acrescentar que a trasformação

$$\psi^{\prime}(q)=e^{i\alpha}\psi(q)$$

deve ser tal que o mesmo $\alpha$ é usado para todas as funções de onda.

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... completa.⁶

Isto quer dizer que a função de onda de cada uma das partes tem um ``futuro'' totalmente previsível, ou seja, que as duas partes do sistema são independentes.

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...inuas.⁷

Natura non facit saltus, Isaac Newton.

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....⁸

Por exemplo, seja $\hat{f}=-i\frac{\partial}{\partial x}$. Então, dado $\psi$ qualquer, temos $\hat{f}\psi=-i\frac{\partial \psi}{\partial x}$. O operador $\hat{f}^*$ deve ser tal, então, que $\hat{f}^* \psi^*= (-i\frac{\partial \psi} {\partial x})^* = i\frac{\partial \psi^*}{\partial x}$. Logo, $\hat{f}^* = i\frac{\partial}{\partial x}$.

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....⁹

Na realidade inteiros negativos são também admitidos, mas, como $sin{\left(\frac{-n\pi}{a}x\right)}=-sin{\left(\frac{n\pi}{a}x\right)}$, as funções de onda correspondentes a $n$ negativos são as mesmas que as de $n$ positivos, pois $\psi(x)$ e $-\psi(x)$ representam o mesmo estado.

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...ivel.¹⁰

O leitor poderia se surpreender com a idéia de que uma partícula possa ter energia negativa, mas esta é uma situação bastante comum. Considere a ``partícula'' Terra, em seu movimento em redor da ``partícula'' Sol. A energia total da Terra é negativa! De fato, precisamos realizar trabalho para levá-la ao ``infinito'' (livrá-la da ação do Sol) e deixá-la, lá, em repouso, ou seja, com energia total zero. Logo, fornecemos energia à Terra para levá-la a um estado de energia zero. Sua energia inicial era, portanto, menor do que zero!

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... alg\'ebricas¹¹

Uma equação algébrica tem a forma de um polinômio igualado a zero.

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... Born¹²

Max Born, grande físico teórico alemão, professor em Göttingen, de quem Werner Heisenberg era assistente, quando criou a mecânica quântica

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... carga¹³

Por exemplo, ela diz que o seguinte fenômeno viola a conservação da carga: uma carga desaparece aqui e aparece, imediatamente depois, na nebulosa de Orion. Isto porque a equação da continuidade exige que o desaparecimento de uma carga de dentro de um volume seja acompanhado pela passagem da carga através da superfície que delimita esse volume. Como isto é válido para qualquer volume, a implicação é que, para uma carga ir de um ponto ao outro, ela deve passar, continuamente, por posições intermediárias. Daí o nome ``equação da continuidade''.

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...#tex2html_wrap_inline19894#¹⁴

Note que (136) contém apenas os valores de $\vec{j}$ na superfície S.

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... adiante,¹⁵

O leitor há de perdoar esta pequena violação da causalidade...

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... sistema.¹⁶

Eqüivalentemente, uma rotação $-\vec{\delta\omega}$ sobre o sistema de eixos em relação ao qual o sistema é referido.

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... Dirac¹⁷

A regra de Dirac diz: sejam $A(p_i,q_i)$ e $B(p_i,q_i)$ duas quantidades físicas da mecânica clássica, e seja $\{A,B\}$ o produto de Poisson (parênteses de Poisson) delas. Então, se $\hat{A}$ e $\hat{B}$ são os operadores hermitianos que representam essas quantidades na mecânica quântica, temos a igualdade simbólica:

$$[\hat{A},\hat{B}]=-i\hbar\{A,B\}$$

Ou seja, para obter o valor do comutador, calcula-se o produto de Poisson das quantidades clássicas correspondentes, multiplicando-se o resultado por $-i\hbar$. Exemplo:
$\{L_a,L_b\}=-\epsilon_{abc}L_c$. Logo, $[\hat{L}_a,\hat{L}_b]= i\hbar\epsilon_{abc} \hat{L}_c$.

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...:¹⁸

Naturalmente eles não sabiam mecânica quântica, mas estudavam vibrações de corpos elásticos.Um dos problemas dessa área, por exemplo, é a determinação das frequências que um tambor, de determinada forma, pode emitir. Trata-se de um problema de autovalores : as freqüências emitidas são as autofreqüências.

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... popular.¹⁹

O leitor dedicado gostará de investigar por que não aparece também um potencial correspondente às forças de Coriolis.

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... assint\'otico.²⁰

Ver, por exemplo, Dicke, Wittke,Introduction to Quantum Mechanics, página 161.

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... Bohr!²¹

Exercício: no modêlo pré-quântico de Bohr, das órbitas de momento angular $L=n\hbar$, determine o raio da menor órbita estacionária. Você deverá encontrar $a_0$, o raio de Bohr.

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... sabido,²²

No caso improvável de isto não ser bem sabido por um aluno do CCM, aí vai:

$$\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{\partial\vec{A}}{\partial t} + \frac{\partial\vec{A}}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \ldots$$

ou seja,

$$\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}+(\vec{v}_x \frac{\partial}{\partial x}+ \ldots)\vec{A}$$

etc.

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....²³

Estritamente, $\omega_0$ é a ``freqüência circular''. A verdadeira freqüência, que é o inverso do período, é $\nu = \frac{\omega_0}{2\pi}$.

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... ordem²⁴

O leitor arguto estará perguntando: mas eu posso mudar a fase só do $\psi_{n}^{(0)}$? A mudança de fase permitida não é uma mudança de fase simultânea para todos os estados? Não, leitor arguto. Um mesmo estado é descrito pela classe de todos os vetores de módulo 1 que diferem apenas por uma fase constant. No entanto, por curiosidade, vamos mostrar que, neste caso, a mudança de fase pode ser vista como uma mudança geral de fase. Examinemos a Eq.(505) em maior detalhe. O resultado obtido, para $c_{nn}^{(1)}=i\alpha$, é

$$\psi_{n}=(1+i\alpha)\psi_{n}^{(0)}-\sum_{m \neq n}\frac{V_{mn}} {E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}}\psi_{m}^{(0)}$$

Mas, até primeira ordem, isto é o mesmo que

$$\psi_{n}=(1+i\alpha)\left(\psi_{n}^{(0)}-\sum_{m \neq n}\frac{V_{mn}} {E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}}\psi_{m}^{(0)}\right)$$

pois os termos

$$\sum_{m \neq n}i\alpha \frac{V_{mn}} {E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}}\psi_{m}^{(0)}$$

são de segunda ordem!

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... perturbativo²⁵

Sim, leitor arguto. É redundante! Mas, didaticamente, é útil, porque é simples, e é um caso em ue se pode verificar o resultado.

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... anular²⁶

Ou seja, as combinações lineares escolhidas devem diagonalizar a matriz de elementos $V_{nm}$, na notação da Eq.(529).

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...energia²⁷

De fato, a fórmula

$$\dot{\hat{O}}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{O}]\;,$$

precisa, quando há dependência explícita no tempo no operador $\hat{O}$, ser modificada, dando

$$\dot{\hat{O}}=\frac{\partial \hat{O}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{O}]$$

Aplicando-se esta última equação ao hamiltoniano $\hat{H}$, tem-se

$$\dot{\hat{H}}=\frac{\partial \hat{H}}{\partial t}=\frac{\partial \hat{V}}{\partial t}$$

que é diferente de zero. Na mecânica quântica, lembre-se, a conservação da energia é sumarizada pela relação $\dot{\hat{H}}=0$, que, neste caso, não é verdadeira.

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... Riemann-Lebesgue²⁸

O leitor achará uma descrição breve em
http://mathworld.wolfram.com/Riemann-LebesgueLemma.html
e uma longa em qualquer livro que trate de integral de Lebesgue.

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... Waals²⁹

Errado! Veremos mais abaixo que esta força existe, mas que a atração de van der Waals ocorre também para moléculas rígidas.

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... vetorial³⁰

Dito produto tensorial dos espaços $E_{1}$ e $E_{2}$, e denotado, quando se quer assustar os estudantes, por $E_{1}\otimes E_{2}$.

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... mutandis³¹

Um latinzinho faz sempre bem! Quer dizer, mudando o que deve ser mudado.

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... anti-paralelos³²

Linguagem de mesa de bar. Corretamente, isto se diria assim: dois elétrons podem estar em estados $\psi_{nlm}$ para os mesmos valores de $n$, $l$ e $m$, desde que suas componentes $z$ do spin tenham sinais opostos. Mas não se fala assim num bar...

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...quase-clássicos³³

O método tratado nesta seção é também conhecido como Aproximação WKB (Wentzel, Krames, Brillouin).

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... deles³⁴

Como é usual entre os físicos, estaremos, indiferentemente, denotando o estado por $\chi$ ou $\vert\chi\rangle$. Em geral usa-se esta última forma quando se vai fazer uso de algum dos truques da genial notação de Dirac

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... anti-unit\'ario³⁵

$S_{c}S_{c}^{\dagger}= S_{c}^{\dagger}S_{c} =1$, mas $S_{c}(\lambda \Psi) = \lambda ^{*} S_{c} \Psi$

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... que³⁶

Por abuso de linguagem estamos representando pelo mesmo símbolo, $\vec{v}$, tanto o vetor quanto a matriz coluna que o representa numa base.

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... complexa³⁷

Sim, leitor! Trata-se de uma matriz complexa, embora não pareça. Lembre-se de que $1$ é um número complexo, pois pode ser escrito como $1+i0$!

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... nome³⁸

A famosa transformada de Laplace!

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... nota³⁹

Isto quer dizer que as energia s consideradas são positivas, como é o caso para um oscilador harmônico de energia potencial $\frac{1}{2}kx^2$

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...irculos⁴⁰

Bem, transforma círculos em elipses, mas, no caso, a transformação é isotrópica, e transforma círculos em círculos...

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... geom\'etrica.⁴¹

Note que

$$\frac{k^2}{k_0^2}=\frac{\epsilon\mu\frac{\omega^2}{c^2}}{\frac{\omega^2}{c^2}} =\epsilon\mu=n^2$$

onde $n$ é o índice de refração do meio.

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...#tex2html_wrap_inline24496#⁴²

Pois $\vec{s}=\frac{d\vec{r}}{ds}$, temos que $\vec{s}.\vec{s}=\frac{d\vec{r}}{ds}.\frac{d\vec{r}}{ds}=\frac{ds^2}{ds^2}=1$ onde usamos que $d\vec{r}.d\vec{r}=ds^2$

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... determinar⁴³

Em outras palavras, existe um vetor $\vec{A}$ tal que a Eq.(1054) é satisfeita.

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