Obtenção da equação de Schrödinger
Embora Hamilton tivesse desenvolvido a analogia exposta na seção precedente ainda em 1828, ele não tinha motivos para atribuir qualquer caráter ondulatório a uma dada partícula. Desta forma, por falta de evidências experimentais não foi possível a ele encontrar uma equação de ondas para descrever o comportamento da partícula. Foi Erwin Schrödinger que, em 1927, estendeu a analogia de Hamilton e encontrou uma equação de ondas para descrever o movimento de um ponto material. A idéia seguida por Schrödinger está esquematizada na Fig. 2.10. Sabia-se que a óptica geométrica era um caso limite da óptica ondulatória e que era análoga à mecânica Newtoniana de uma partícula. Seria possível obter alguma equação, no mesmo pé de igualdade da equação de ondas eletromagnéticas, que levaria à mecânica clássica no limite em que alguma grandeza, , inerente à esta teoria tendesse a zero? Fig. 2.10 - Conjectura de Schrödinger. Da analogia de Hamilton, W corresponde ao eikonal S. Levando-se em conta a parte temporal, a ação A = W -Et deve corresponder à fase da onda eletromagnética, dada por:
onde as substituições k0 = 2p/l0 e l0 = c/n foram introduzidas. Comparando os termos com dependência temporal na fase da onda e na ação, Schrödinger concluiu que a energia da partícula deveria ser proporcional à frequência de alguma onda associada a ela, cuja propagação está mostrada na Fig. 2.9. Assim,
onde h é uma constante de proporcionalidade, que mais tarde foi identificada como sendo a constante de Planck. Associando um comprimento de onda à propagação da superfície A(t) no espaço das configurações e levando em conta que esta se propaga com uma velocidade de fase dada por vf = E/p, temos:
Desta forma, Schrödinger conseguiu associar um comprimento de onda à partícula de momentum p. Este comprimento de onda foi posteriormente deduzido por de Broglie de uma outra maneira e porisso leva o nome de comprimento de onda de de Broglie. A eq. (2.65) permite encontrar o vetor de propagação como:
onde
onde o vetor campo elétrico foi substituido por uma nova função, y, cuja interpretação será deixada para os textos de mecânica quântica.
com w = 2pn . Usando a eq. (2.65), e considerando que
cuja derivada com respeito a nos fornece vg-1:
Substituindo hn por E e
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