O potencial ótico
e este tipo de equação também deve existir na óptica geométrica devido à equivalência entre as duas equações de ondas. Usando (2.66), podemos definir um potencial óptico como:
Na presente analogia, a óptica geométrica está ligada ao limite clássico da equação de Schrödinger, no qual a 2a lei de Newton é válida. Desta forma,
Como k(
Assim, obtemos a aceleração que atua sobre uma partícula de luz quando esta atravessa um meio com índice de refração variável. Entretanto, a eq. (2.74) mistura o caráter de uma partícula de massa m com o de onda (w,c). Para eliminarmos a massa desta equação, faremos uso da relação de de Broglie:
onde k0 = w/v = nw/c. Substituindo (2.74) em (2.73) obtemos uma expressão para a aceleração de um raio de luz que se propaga com velocidade v = c/n num meio cujo índice de refração depende da posição:
Entretanto, a solução desta equação é complicada, uma vez que v também pode depender da posição. Para simplificá-la, vamos tomar a aproximação paraxial que estabelece que o movimento do raio está confinado em torno do eixo de propagação, que denominaremos de z. Neste caso, v
onde a regra da cadeia foi utilizada. Substituindo (2.77) em (2.76) e cancelando v obtemos:
Usando
que nos leva à equação de propagação de raios:
Podemos comparar este resultado com a equação dos raios obtida anteriormente. Usando a aproximação paraxial (d/ds
Vemos então que o primeiro termo desta equação não aparece em (2.80). Para efeitos práticos isto não tem muita importância, pois a duas equações são válidas apenas na aproximação paraxial, que só tem sentido quando a variação de n é muito pequena. Na solução da eq. (2.81), despreza-se em geral o primeiro termo e aproxima-se n por n0 no segundo termo.
que corresponde a um termo constante e outro muito pequeno. Para passarmos do caso quântico para o clássico devemos ter h 0. Isto significa que os níveis de energia do sistema são quase contínuos e para isto o potencial deve variar lentamente no espaço. Assim, o primeiro termo de (2.81) pode ser considerado como de 2a ordem e portanto desprezado.
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