Introduzido em 1657, o princípio de Fermat estabelece que a luz se propaga entre dois pontos no menor tempo possível, no caso em que ela não sofre reflexões. Consideremos um raio se propagando por meios com diferentes índices de refração, conforme mostra a Fig. 2.4. O tempo total para ele realizar o percurso indicado é dado pela somatória dos tempos gastos em cada meio:

(2.9)

onde di é a distância percorrida em cada meio, com velocidade v_i = c/n_i. c é a velocidade da luz no vácuo e n_ié o índice de refração do i-ésimo meio. A somatória [ ] = n_id_i é denominada de caminho óptico. Como c é constante, o tempo mínimo implica no menor caminho óptico possível.

Fig. 2.4 - Raio se propagando numa série de meios homogêneos com índices de refração diferentes.

Uma aplicação simples do princípio de Fermat é a dedução da lei de Snell, que apresentamos a seguir. Consideremos um raio que se propaga entre dois pontos fixos, P1 e P2, localizados em meios com índices de refração distintos, n1 e n2, conforme mostra a Fig. 2.5. As distâncias x1 e x2 são fixas, mas y1 e y2 podem variar para a minimização do tempo. Entretanto, como os pontos P1 e P2 são fixos, y1+y2 = Y é constante. O caminho óptico será dado por:

Fig. 2.5 - Geometria utilizada na dedução da lei de Snell pelo princípio de Fermat.

(2.10)

que de acordo com a geometria da Fig. 2.5 pode ser expresso como:

(2.11)

A eq. (2.11) estabelece a variação de [ D ] com y₁. Para encontrarmos seu valor mínimo igualamos sua derivada a zero:

(2.12)

De acordo com a geometria da Fig. 2.5, as frações da eq. (2.12) correspondem aos senos de 1 e 2, de forma que assim obtemos a lei de Snell:

(2.13)

Até agora nossa apresentação do princípio de Fermat restringiu-se ao caso em que a luz se propaga através de vários meios homogêneos, porém com diferentes índices de refração. Queremos agora analisar o caso em que a propagação ocorre num meio em que o índice de refração varia continuamente ao longo do percurso do raio. Neste caso, a somatória da eq. (2.9) deve naturalmente ser substituída por uma integral:

(2.14)

onde s é distância percorrida pelo feixe entre os pontos P₁ e P₂ e n(s)ds é o caminho óptico elementar. O princípio de Fermat estabelece a existência de um caminho muito bem definido para o raio ir de P₁ e P₂. Trata-se de um princípio variacional que pode ser colocado da seguinte maneira:

(2.15)

Quando um raio se propaga no espaço, ds é expresso em coordenadas cartesianas como:

(2.16)

onde = dx/dz e = dy/dz. Note que dz foi arbitrariamente colocado em evidência, mas também poderíamos ter escolhido dx ou dy. Assim, o princípio de Fermat fica:

(2.17)

com:

(2.18)

onde supusemos que n pode variar nas três direções. A solução da eq. (2.17) já foi estabelecida no contexto da mecânica clássica, explicitamente ao se tratar o princípio da mínima ação:

(2.19)

onde L (x,y,z,,,z) é a Lagrangeana do sistema mecânico, x, y, e z são as coordenadas cartesianas e t é o tempo. Comparando as equações (2.17) e (2.19), notamos que f(x,y,z,,,z) faz o papel da Lagrangeana e z, o de tempo. Como já estudado na mecânica clássica, a solução da eq. (2.17) leva a um conjunto de equações do tipo Euler-Lagrange:

Queremos agora aplicar estas equações na análise da trajetória do raio se propagando na mistura de água e álcool. De acordo com a simetria do problema, a trajetória do raio está confinada no plano yz e a função f independe de x e . Em geral, a análise de problemas onde o índice de refração depende de apenas uma coordenada torna-se matematicamente mais simples se a coordenada "tempo" for tomada na direção em que n varia. Assim, tomaremos , onde agora dy foi colocado em evidência. Neste caso, a equação de Euler-Lagrange torna-se:

(2.21)

onde independe de z e portanto . Isto simplifica a solução da eq. (2.21) pois será constante. Desta forma, temos:

(2.22)

onde a condição inicial b(y₀)=0 foi usada. Note que tg b(y₀)=dy/dz=0 para z=0 (y=y0). Portanto, = cotg = neste ponto e os do numerador e denominador da eq. (2.22) se cancelam. Elevando esta equação ao quadrado obtemos:

(2.23)

Substituindo a expressão aproximada para o índice de refração n(y) n₀ + (dn/dy)(y-y₀) e considerando que = dz/dy =1/(dy/dz) =1/, obtemos:

(2.24)

onde o termo quadrático em dn/dy foi desprezado. Esta equação é idêntica à eq. (2.5) e sua integração leva à trajetória parabólica da eq. (2.6) obtida na seção precedente. Com esta análise chegamos ao mesmo resultado obtido com a lei de Snell generalizada. Entretanto convém salientarmos que as equações de Euler-Lagrange são mais gerais pois permitem tratar problemas onde o índice de refração varia nas três direções.