O princípio de Fermat
Introduzido em 1657, o princípio de Fermat estabelece que a luz se propaga entre dois pontos no menor tempo possível, no caso em que ela não sofre reflexões. Consideremos um raio se propagando por meios com diferentes índices de refração, conforme mostra a Fig. 2.4. O tempo total para ele realizar o percurso indicado é dado pela somatória dos tempos gastos em cada meio:
onde di é a distância percorrida em cada meio, com velocidade vi = c/ni. c é a velocidade da luz no vácuo e nié o índice de refração do i-ésimo meio. A somatória [ Fig. 2.4 - Raio se propagando numa série de meios homogêneos com índices de refração diferentes.
Fig. 2.5 - Geometria utilizada na dedução da lei de Snell pelo princípio de Fermat.
que de acordo com a geometria da Fig. 2.5 pode ser expresso como:
A eq. (2.11) estabelece a variação de [ D ] com y1. Para encontrarmos seu valor mínimo igualamos sua derivada a zero:
De acordo com a geometria da Fig. 2.5, as frações da eq. (2.12) correspondem aos senos de 1 e 2, de forma que assim obtemos a lei de Snell:
Até agora nossa apresentação do princípio de Fermat restringiu-se ao caso em que a luz se propaga através de vários meios homogêneos, porém com diferentes índices de refração. Queremos agora analisar o caso em que a propagação ocorre num meio em que o índice de refração varia continuamente ao longo do percurso do raio. Neste caso, a somatória da eq. (2.9) deve naturalmente ser substituída por uma integral:
onde s é distância percorrida pelo feixe entre os pontos P1 e P2 e n(s)ds é o caminho óptico elementar. O princípio de Fermat estabelece a existência de um caminho muito bem definido para o raio ir de P1 e P2. Trata-se de um princípio variacional que pode ser colocado da seguinte maneira:
Quando um raio se propaga no espaço, ds é expresso em coordenadas cartesianas como:
onde
com:
onde supusemos que n pode variar nas três direções. A solução da eq. (2.17) já foi estabelecida no contexto da mecânica clássica, explicitamente ao se tratar o princípio da mínima ação:
onde L (x,y,z,
Queremos agora aplicar estas equações na análise da trajetória do raio se propagando na mistura de água e álcool. De acordo com a simetria do problema, a trajetória do raio está confinada no plano yz e a função f independe de x e
onde
onde a condição inicial b(y0)=0 foi usada. Note que tg b(y0)=dy/dz=0 para z=0 (y=y0). Portanto,
Substituindo a expressão aproximada para o índice de refração n(y)
onde o termo quadrático em dn/dy foi desprezado. Esta equação é idêntica à eq. (2.5) e sua integração leva à trajetória parabólica da eq. (2.6) obtida na seção precedente. Com esta análise chegamos ao mesmo resultado obtido com a lei de Snell generalizada. Entretanto convém salientarmos que as equações de Euler-Lagrange são mais gerais pois permitem tratar problemas onde o índice de refração varia nas três direções.
|
|