Efisica

A equação dos raios

 


Através da manipulação matemática das equações de Euler-Lagrange, obtidas com o princípio de Fermat, é possível a obtenção de uma equação vetorial elegante, que descreve a propagação de um raio num meio óptico não homogêneo. Para deduzirmos esta equação dos raios, começaremos com a eq. (2.20a):

(2.25)

onde a expressão para f, dada pela eq. (2.18), foi utilizada na derivada relativa a x. Efetuando também a derivada com relação a obtemos:

(2.26)

Da eq. (2.16) temos: . Portanto, usando a regra da cadeia no termo =dx/dz do lado esquerdo da equação temos:

(2.27)

Aplicando novamente a regra da cadeia na derivada relativa a z chegamos a:

(2.28)

Partindo da outra equação de Euler-Lagrange, eq. (2.20b), obtemos de forma análoga a expressão envolvendo a coordenada y:

(2.29)

Combinando as equações (2.28) e (2.29) é possível encontrar uma expressão análoga para a coordenada z:

(2.30)

Multiplicando as equações (2.28), (2.29) e (2.30) respectivamente pelos versores î, e , e somando as três, obtemos a equação vetorial que fornece a propagação do raio dentro do meio não homogêneo:

(2.31)

A Fig. 2.6 mostra a geometria de s, ds, e . É interessante notar que || = ds. A direção de propagação do raio de luz é caracterizada por um versor û = /ds. O vetor é definido a partir da escolha de uma origem arbitrária, s é o deslocamento ao longo do raio e ds é um incremento infinitesimal deste deslocamento.



Fig. 2.6 - Geometria das grandezas utilizadas na equação dos raios.

Para finalizarmos esta seção, vamos aplicar a equação dos raios à análise da propagação de luz pela mistura de água e álcool. O uso da eq. (2.31) é em geral simples na aproximação paraxial, onde o desvio do raio é pequeno. Neste caso, ds está praticamente na direção z e assim podemos substituir d/ds por d/dz. Como a trajetória do raio se dá no plano yz, escrevemos , de onde tiramos . O gradiente de n pode ser calculado a partir da eq. (2.1) e resulta em . Substituindo estas grandezas na equação dos raios obtemos:

(2.32)

Como n(y) não depende de z, ele pode ser tirado para fora da derivada. é um vetor constante e sua derivada relativa a z é nula. Portanto, da equação vetorial (2.32) sobra apenas a componente na direção , dada por:

(2.33)

onde n(y), dado pela eq. (2.1) já foi substituido.

Na aproximação paraxial, o raio se desvia pouco do eixo z (y y0) e além disto dn/dy é pequeno. Logo podemos desprezar o segundo termo entre colchetes do lado esquerdo da equação e assim obtemos uma expressão onde a derivada segunda de y é constante (equação da parábola). A solução desta equação é simples e leva aos resultados já obtidos anteriormente:

(2.34)

que implica em:

(2.35)

de forma que

(2.36)

onde as condições iniciais (z=0)=0 e y(z=0)=y0 foram utilizadas. Portanto, recuperamos os resultados já encontrados pela lei de Snell generalizada e pelas equações de Euler-Lagrange.


 

 

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