Efisica

A função eikonal

 


Neste ponto, deixaremos de lado a óptica geométrica para introduzirmos o conceito de eikonal. Esta função, obtida a partir da óptica ondulatória, é importante pois representa o papel da função característica de Hamilton na mecânica clássica e é de grande valia quando se faz a analogia desta com a óptica geométrica. Como veremos no Cap. IV, a equação das ondas eletromagnéticas na sua forma reduzida (sem dependência temporal) é dada por:

(2.37)

onde k() = 2pn()/l é o é vetor de propagação, que depende da posição, uma vez que n() depende da posição num meio não homogêneo. A solução da equação de ondas é uma grandeza complexa, que contém um termo de amplitude e outro de fase, e pode ser escrita como:

(2.38)

sendo E0() a amplitude (envelope), f() a fase da onda e S() a função eikonal, que dá a direção de propagação da onda em termo de seus co-senos diretores. k0 é o vetor de onda no vácuo, dado por k0=2pn/l , onde l é o comprimento de onda da luz no vácuo (n=1). As superfícies S() = constante formam as equifases da onda, e esta se propaga perpendicularmente a estas superfícies. Para visualizarmos este fato, consideremos uma onda plana, cuja fase é dada por:

(2.39)

como veremos posteriormente. Assim, a função eikonal fica sendo:

(2.40)

A direção perpendicular a esta superfície pode ser encontrada pelo cálculo de seu gradiente:

(2.41)

onde û é um versor paralelo a e que portanto define a direção de propagação da onda. Realizando o produto escalar obtemos:

(2.42)

que é conhecida como a equação do eikonal. Esta equação também pode ser obtida diretamente pela substituição da eq. (2.38) em (2.37), mas isto será deixado como exercício.

O conceito de função eikonal pode ser utilizado na dedução da equação dos raios que obtivemos na seção 2.6. Fazendo uso da Fig. 2.6, de onde temos ||=ds e û=/ds, podemos escrever , sendo que este último termo já é o que entra na equação dos raios. Tendo em mente a eq. (2.31) escrevemos:

(2.43)

O lado direito da equação pode ser trabalhado com o uso da regra da cadeia:

(2.44)

e pelo cálculo do gradiente da eq. (2.42) (equação do eikonal):

(2.45)

Usando no segundo termo desta equação obtemos:

(2.46)

onde a eq. (2.44) foi utilizada no primeiro termo da esquerda. Substituindo a igualdade da direita na eq. (2.43) recuperamos a equação dos raios.

Com a função eikonal é possível obter-se as condições de contorno para os raios de luz. Lembrando que o rotacional do gradiente é nulo, temos:

(2.47)

onde o teorema de Stokes foi usado. Como , temos:

(2.48)

Nesta última passagem supusemos que o caminho de integração coincide com o caminho dos raios de luz, isto é, û é paralelo a . De acordo com a Fig. 2.7 podemos definir os caminhos C1 e C2, e a eq. (2.48) pode ser expressa como:

(2.49)

de onde concluimos que dois raios de luz que deixam um ponto P1 e chegam até um ponto P2 por caminhos geométricos diferentes, o fazem com o mesmo valor de caminho óptico. Exemplificando, todos os raios que saem de um dado ponto de um objeto colocado na frente de uma lente e chegam ao mesmo ponto da imagem, o fazem de tal forma que as integrais de linha de nds por diferentes caminhos geométricos fornecem o mesmo valor.

Fig. 2.7 - Possíveis caminhos seguidos pelos raios de luz.

Podemos também usar a eq. (2.48) para deduzir a lei de Snell. Neste caso, o caminho de integração dado pela curva C não corresponde à direção de propagação dos raios de luz. Considere a Fig. 2.8, que mostra raios incidentes sobre uma interface que separa dois meios. Neste caso temos:

(2.50)

que nos leva diretamente à lei de Snell, já que û.ê = senq. A seguir, vamos usar a idéia de função eikonal para estabelecer um paralelo entre a óptica geométrica e a mecânica clássica.

Fig 2.8 - Raios de luz que incidem numa interface dielétrica.


 

 

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