A função eikonal
Neste ponto, deixaremos de lado a óptica geométrica para introduzirmos o conceito de eikonal. Esta função, obtida a partir da óptica ondulatória, é importante pois representa o papel da função característica de Hamilton na mecânica clássica e é de grande valia quando se faz a analogia desta com a óptica geométrica. Como veremos no Cap. IV, a equação das ondas eletromagnéticas na sua forma reduzida (sem dependência temporal) é dada por:
onde k(
sendo E0(
como veremos posteriormente. Assim, a função eikonal fica sendo:
A direção perpendicular a esta superfície pode ser encontrada pelo cálculo de seu gradiente:
onde û é um versor paralelo a
que é conhecida como a equação do eikonal. Esta equação também pode ser obtida diretamente pela substituição da eq. (2.38) em (2.37), mas isto será deixado como exercício.
O lado direito da equação pode ser trabalhado com o uso da regra da cadeia:
e pelo cálculo do gradiente da eq. (2.42) (equação do eikonal):
Usando
onde a eq. (2.44) foi utilizada no primeiro termo da esquerda. Substituindo a igualdade da direita na eq. (2.43) recuperamos a equação dos raios.
onde o teorema de Stokes foi usado. Como
Nesta última passagem supusemos que o caminho de integração coincide com o caminho dos raios de luz, isto é, û é paralelo a
de onde concluimos que dois raios de luz que deixam um ponto P1 e chegam até um ponto P2 por caminhos geométricos diferentes, o fazem com o mesmo valor de caminho óptico. Exemplificando, todos os raios que saem de um dado ponto de um objeto colocado na frente de uma lente e chegam ao mesmo ponto da imagem, o fazem de tal forma que as integrais de linha de nds por diferentes caminhos geométricos fornecem o mesmo valor. Fig. 2.7 - Possíveis caminhos seguidos pelos raios de luz. Podemos também usar a eq. (2.48) para deduzir a lei de Snell. Neste caso, o caminho de integração dado pela curva C não corresponde à direção de propagação dos raios de luz. Considere a Fig. 2.8, que mostra raios incidentes sobre uma interface que separa dois meios. Neste caso temos:
que nos leva diretamente à lei de Snell, já que û.ê = senq. A seguir, vamos usar a idéia de função eikonal para estabelecer um paralelo entre a óptica geométrica e a mecânica clássica. Fig 2.8 - Raios de luz que incidem numa interface dielétrica.
|