Analogia entre a mecânica clássica e a ótica geométrica
Em 1828, Hamilton formulou a analogia entre a óptica geométrica e a mecânica Newtoniana de uma partícula. Esta formulação está discutida em detalhes na referência 2.3 e aqui fazemos apenas um breve resumo das idéias envolvidas. Já vimos um pouco desta analogia quando estudamos o princípio de Fermat, que é equivalente ao princípio da mínima ação, ou ação estacionária. Vamos ver agora outros aspectos desta equivalência. Para a obtenção da equação de Hamilton-Jacobi, lembremo-nos que a ação é dada por:
onde L é a Lagrangeana, q e p são respectivamente a coordenada e velocidade generalizadas, t é o tempo e C é uma constante. Denominando de H o Hamiltoniano do sistema mecânico e fazendo uma transformação canônica tal que o novo Hamiltoniano, K, seja nulo, obtemos a equação de Hamilton-Jacobi:
No caso em que a energia se conserva, H não depende do tempo e a eq. (2.52) pode ser integrada, resultando em:
onde H = E é a energia da partícula, A é a função principal de Hamilton e W é conhecida como função característica de Hamilton. Na eq. (2.52), o momentum é representado por
Isto significa que a partícula caminha perpendicularmente à superfície definida pela função W. Neste ponto já é possível notar-se alguma semelhança com a óptica geométrica, pois de acordo com a eq. (2.41), um raio de luz propaga-se perpendicularmente à superfície S(x,y,z), com o índice de refração fazendo o papel de momentum.
Usando o conceito de derivada direcional temos:
onde
onde T=p2/2m é a energia cinética da partícula. Deste modo, vemos que a velocidade de fase aumenta quando a velocidade da partícula diminui. Entretanto, como veremos posteriormente, é a velocidade de grupo (velocidade de um pacote de onda) que é igual à velocidade da partícula, e não a velocidade de fase. Fig. 2.9 - Propagação da superfície A(t)=a no espaço das configurações. Para realizarmos uma comparação formal entre a óptica geométrica e a mecânica clássica, vamos inicialmente mostrar que a equação do eikonal tem sua origem na óptica ondulatória no limite em que 0. Para isto não podemos usar a equação de ondas na forma reduzida, dada pela eq. (2.37), mas sim sua forma completa, que envolve a derivada temporal. Esta equação, que será deduzida no Cap. 4, é dada por:
onde o aspecto vetorial do campo elétrico foi ignorado para simplificar as contas. A solução desta equação é obtida generalizando-se a eq. (2.38) de acordo com:
onde a amplitude do campo elétrico foi escrita como
Como as grandezas B e S são reais, cada termo entre colchetes deve se anular separadamente. Assim temos:
No limite em que l
e no limite em que l
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