Em 1828, Hamilton formulou a analogia entre a óptica geométrica e a mecânica Newtoniana de uma partícula. Esta formulação está discutida em detalhes na referência 2.3 e aqui fazemos apenas um breve resumo das idéias envolvidas. Já vimos um pouco desta analogia quando estudamos o princípio de Fermat, que é equivalente ao princípio da mínima ação, ou ação estacionária. Vamos ver agora outros aspectos desta equivalência. Para a obtenção da equação de Hamilton-Jacobi, lembremo-nos que a ação é dada por:

(2.51)

onde L é a Lagrangeana, q e p são respectivamente a coordenada e velocidade generalizadas, t é o tempo e C é uma constante. Denominando de H o Hamiltoniano do sistema mecânico e fazendo uma transformação canônica tal que o novo Hamiltoniano, K, seja nulo, obtemos a equação de Hamilton-Jacobi:

(2.52)

No caso em que a energia se conserva, H não depende do tempo e a eq. (2.52) pode ser integrada, resultando em:

(2.53)

onde H = E é a energia da partícula, A é a função principal de Hamilton e W é conhecida como função característica de Hamilton. Na eq. (2.52), o momentum é representado por , e como nos sistemas conservativos apenas W depende de q, como visto na eq. (2.53), temos . Este resultado pode ser estendido para três dimensões fornecendo:

(2.54)

Isto significa que a partícula caminha perpendicularmente à superfície definida pela função W. Neste ponto já é possível notar-se alguma semelhança com a óptica geométrica, pois de acordo com a eq. (2.41), um raio de luz propaga-se perpendicularmente à superfície S(x,y,z), com o índice de refração fazendo o papel de momentum.

Para analisarmos o movimento de uma partícula, consideremos a superfície A = constante = a, como uma frente de onda propagando-se no espaço das configurações. De acordo com a Fig. 2.9, a variação da função W num intervalo de tempo dt é dada por:

Usando o conceito de derivada direcional temos:

(2.56)

onde é um vetor perpendicular à superfície A = constante. Igualando as equações (2.55) e (2.56) obtemos a velocidade de fase para a propagação da frente de onda como:

(2.57)

onde T=p²/2m é a energia cinética da partícula. Deste modo, vemos que a velocidade de fase aumenta quando a velocidade da partícula diminui. Entretanto, como veremos posteriormente, é a velocidade de grupo (velocidade de um pacote de onda) que é igual à velocidade da partícula, e não a velocidade de fase.

Fig. 2.9 - Propagação da superfície A(t)=a no espaço das configurações.

Para realizarmos uma comparação formal entre a óptica geométrica e a mecânica clássica, vamos inicialmente mostrar que a equação do eikonal tem sua origem na óptica ondulatória no limite em que 0. Para isto não podemos usar a equação de ondas na forma reduzida, dada pela eq. (2.37), mas sim sua forma completa, que envolve a derivada temporal. Esta equação, que será deduzida no Cap. 4, é dada por:

(2.58)

onde o aspecto vetorial do campo elétrico foi ignorado para simplificar as contas. A solução desta equação é obtida generalizando-se a eq. (2.38) de acordo com:

(2.59)

onde a amplitude do campo elétrico foi escrita como por conveniência. A substituição de (2.59) em (2.58), que será deixada como exercício, nos leva a:

(2.60)

Como as grandezas B e S são reais, cada termo entre colchetes deve se anular separadamente. Assim temos:

No limite em que l 0 (k₀ ), apenas os dois últimos termos de (2.61b) são relevantes, o que nos leva à equação do eikonal já discutida anteriormente.

Em resumo, a solução da equação de ondas eletromagnéticas possui uma fase que é dada por:

(2.62)

e no limite em que l 0 obtemos que o raio de luz se propaga com uma direção definida por . Já na mecânica clássica, a direção de propagação de uma partícula é dada pela eq. (2.54). Assim, a função característica W(q,p) faz o papel de eikonal e (onde V representa a energia potencial), faz o papel de índice de refração. A análise da equação de Hamilton-Jacobi indica que a mecânica clássica é análoga ao limite da óptica geométrica da equação de ondas. Raios de luz ortogonais às frentes de onda (equifases) correspondem à trajetórias de partículas, ortogonais as superfícies de ação constante. Na seção seguinte, vamos ver como Schrödinger estendeu a analogia de Hamilton para obter uma equação básica na mecânica quântica, que hoje leva seu nome.