Efisica

Equação de Fresnel

Estamos interessados em detalhar um pouco mais o que acontece com a radiação eletromagnética quando incide num meio com índice de refração diferente daquela na qual ela se propaga. Em particular queremos analisar os ângulos de reflexão e refração e as amplitudes dos campos elétricos transmitido e refletido.

Leis da reflexão e refração

Considere dois meios homogêneos isotró-picos, lineares e não condutores (s=J=0) com índices de refração n1 e n2, separados por uma interface localizada sobre o plano xz. Um raio de amplitude E, propagando-se no meio 1 incide sobre a interface, formando um ângulo q com o eixo y. O raio refletido tem amplitude E' e sua direção de propagação é especificada pelos ângulos q' e f'. Analogamente, o raio refratado é especificado por E", q" e f", como mostra a Fig. 6.12. Note o fato de estarmos supondo que os três raios não estão num mesmo plano.

Das equações de Maxwell podemos deduzir condições de contorno que estabelecem a continuidade das componentes de e ao se passar de um meio para outro. Os campos , ' e '' são dados por:

(6.10a)

(6.10b)

(6.10c)

enquanto que os campos magnéticos se relacionam com os campos elétricos através de:

Geometria da reflexão e refração de um raio de luz.

Fig. 6.12 - Geometria da reflexão e refração de um raio de luz.

(6.11a)

(6.11b)

(6.11c)

Tomando um pequeno elemento de volume S dh contendo parte da interface (Fig. 6.13), podemos aplicar a forma integral da lei de Gauss:


(6.12)

Fig. 6.13 - Elemento de volume usado na obtenção das condições de contorno.

Como a carga superficial é dada por , ficamos com:

(6.13)

Assim, de acordo com a Fig. 6.13, temos:

(6.14)

Note que S1 = S2 = S pois dh 0 e = . Logo, a equação acima nos leva a:

(6.15)

que estabelece que a variação da componente normal do deslocamento elétrico é igual à carga superficial. No nosso caso específico = 0, logo, a componente normal de é contínua:

(6.16)

Procedendo de maneira análoga com as outras equações de Maxwell, obtemos:

 

(6.17)

(6.18)

(6.19)

A eq. (6.17) nos diz que para y = 0 a componente tangencial do campo elétrico é contínua, logo:

(6.20a)

para a componente x e

(6.20b)

para a componente z. Como estas igualdades são válidas para qualquer t e qualquer ponto r da interface, devemos ter:

 

w = w' = w''

(6.21a)

(6.21b)

onde . Esta última igualdade nos diz que os vetores , ' e '' são coplanares, isto é, f' = f" = 0 e portanto:

(6.22)

Por outro lado, k = k' pois k = w/v1 e k' = w'/v1 = w/v1. Logo, q = q', ou seja, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão q'.

O ângulo de refração q" pode ser encontrado usando-se k = n1k0 e k"= n2k0 na eq. (6.22). Assim, n1sen = n2sen , que é chamada de lei de Snell.

Em resumo temos as seguintes regras: (i) os raios incidente, refletido e refratado são coplanares, (ii) o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão ?', e (iii) os ângulos de incidência e refração se relacionam através da lei de Snell .

Amplitude das ondas refletida e refratada

Vamos analisar dois casos: a) aquele em que é paralelo à interface (e, portanto, perpendicular ao plano xy) como mostrado na Fig. 6.14(a), e leva o nome TE (transversa elétrica) ou polarização s (ou s) e (b) quando for paralelo à interface, que corresponde à onda TM (transversa magnética) também chamada polarização p (ou p), mostrada na Fig. 6. 6.14(b). No caso (a) e para (b) , o mesmo se dando com as ondas refletida e refratada.

Fig. 6.14 - Reflexão e refração de uma onda
(a) TE (polarização s) e (b) TM (polarização p).

Logo, usando as eq. (6.17) e (6.19) podemos fazer a seguinte análise:

caso a) TE

 

E + E'= E"

(6.23a)

(6.23b)

Usando a eq. (6.11) para eliminar H em função de E, obtemos:

(6.24)

definidos por:

 

(6.25a)

 

(6.25b)

Caso b) TM

 

H - H'= H"

(6.26a)

(6.26b)

Novamente, usando a eq. (6.11) para eliminar H em função de E, obtemos: , de onde sai:

 

(6.27a)

 

(6.27b)

As equações acima podem ser modificadas usando-se a lei de Snell = , e o índice de refração relativo (n = n2/n1):

 

(6.28a)

 

(6.28b)

A Fig. 6.15 mostra a variação do coeficiente de reflexão em função do ângulo de incidência quando n2 > n1 (reflexão externa). O sinal negativo de significa que o campo elétrico muda a fase em 1800 após a reflexão. Note que rp = 0 quando:

(6.29)

Fig. 6.15 - Coeficiente de reflexão externa.


Como n2 > n1 temos tgq
B > 1 e, consequentemente, qB > 45 . qB é conhecido com ângulo de Brewster.

A Fig. 6.16 mostra o caso da reflexão interna (n1 > n2) com o ângulo de Brewster, sendo agora menor que 450. Por outro lado, quando n = senq
temos um ângulo crítico qc acima do qual rs = rp = 1. Para n menor que senq temos:

(6.30)

Fig. 6.16 - Coeficiente de reflexão interna.

Um conceito erroneamente empregado é que se a refletividade é unitária, nenhuma luz penetra no meio menos denso. Isto não é verdade, como veremos a seguir. Supondo que a onda incidente na interface é plana e tomando o campo elétrico na forma exponencial, podemos escrever:

(6.31)

onde na última passagem usamos o fato que ao onda se propaga no plano xy (). Note que kx = k senq e ky = k cosq são as projeções de no plano xy. O módulo de k" é (w/c) n1. No meio com índice n2, o campo elétrico pode ser escrito de maneira similar:

(6.32)

sendo as projeções de " dadas por kx" = k" senq" e ky" = k" cosq", e seu módulo por k"= (w/c)n2. Lembrando que n = n2/n1, pela lei de Snell temos senq = n senq" e consequentemente:

(6.33)

Desta forma, a parte espacial da fase da onda dada pela eq. (3.16) fica:

(6.34)

Como i2 = -1, o campo é dado por:

(6.35)

onde . Note que a luz se propaga paralelamente à interface, na direção do eixo x. Por outro lado, penetra no meio menos denso, porém decaindo de forma exponencial. Em geral, a profundidade de penetração é da ordem do comprimento de onda da luz. Pictoricamente, é como se houvesse uma rampa na qual uma partícula (fóton) sobe um pouco mas depois volta. Este processo na óptica leva o nome de penetração em barreira ou tunelamento fotônico. Isto fica mais claro se colocarmos dois prismas próximos, separados por uma distância da ordem do comprimento de onda da luz, como representado na Fig. 6.17. Desprezando as reflexões de Fresnel nas faces de entrada e saida dos prismas, vemos que a intensidade da luz transmitida decai exponencialmente com a separação entre os prismas, de acordo com IT = I0 exp (-ad). No interior de cada prima o campo elétrico oscila harmonicamente na direção y, mas entre eles decai exponencialmente como mostrado na Fig. 6.17.

Fig. 6.17 - Tunelamento fotônico.

Este é um fato muito importante, principalmente no que se refere à propagação de luz em fibras óptica. Nelas, o núcleo (com cerca de 5 mm de diâmetro) possui o índice de refração levemente superior à da casca (diâmetro da ordem de 120 ?m) e a tendência da luz é a de propagar confinada no meio com maior índice de refração. Porém, como acabamos de ver, uma parte não desprezível da radiação propaga pela casca, devido ao tunelamento fotônico e qualquer imperfeição (trincas, bolhas, etc.) acarreta em perdas de intensidade.

Com relação à energia transmitida ou refletida, podemos escrever:

(6.36)

Chamando de a normal à interface, a energia se propagando nesta direção é , a energia refletida é: e a transmitida é dada por: . Define-se refletividade R e transmitividade T como:

(6.37a)

 

(6.37b)

onde necessariamente T + R = 1.

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