Efisica

Ondas harmônicas unidimensionais

 


A equação para a onda eletromagnética unidimensional tem a forma da equação para u e portanto, sua solução se constitui de pulsos do tipo:

E = E(z vt)

H = H(z vt)

(4.8a)

(4.8b)

caminhando com velocidade , onde c é a velocidade da luz no vácuo (ke = km =1). Para meios dielétricos e não magnéticos (km =1), temos onde n = é o índice de refração do meio.

Um caso particular muito interessante das soluções expressas pelas eq. (4.8a) e (4.8b) é o das ondas harmônicas, que são perturbações periódicas da forma:

(4.9a)

(4.9b)

onde definimos:

(4.10)

sendo a freqüência angular da onda e k a constante de propagação ou módulo do vetor de propagação. Posteriormente, veremos com mais detalhes o significado físico destas grandezas. Assim como a expressão co-senoidal apresentada acima, soluções do tipo seno também satisfazem a equação de ondas e também são chamadas de ondas harmônicas. Como exemplo, no caso das ondas mecânicas funções do tipo seno ou co-seno podem ser obtidas conectando um diapasão numa das extremidades de uma corda esticada. Existe ainda uma terceira maneira de se expressar a onda harmônica, mais conveniente para a realização da operação de multiplicação dos campos, que é a forma exponencial:

(4.11)

que também satisfaz a equação de ondas. De acordo com a forma de Euler (exp{iq}= cosq + i senq ) esta expressão contém um termo real e outro imaginário. Como o campo elétrico (assim como o magnético) deve ser uma variável real, é costume tomar-se apenas a parte real (ou imaginária) da eq. (4.11).

Vamos enfatizar aqui que uma onda tem três partes importantes: a) a amplitude (Eo), b) a orientação espacial dos campos (polarização) e c) a fase (kz wt). A amplitude está ligada à intensidade, que determina a potência que está sendo transportada pela onda. A polarização dos campos está vinculada à orientação do vetor campo elétrico no espaço. Esta orientação define o que chamamos de polarização de uma onda e será tema de muitas discussões ao longo do texto, como por exemplo, quando estudarmos os fenômenos de reflexão e refração. Veremos ainda que a fase, que é o argumento da função que descreve a onda, é um elemento fundamental no entendimento de vários fenômenos, como por exemplo o da interferência de ondas.

O argumento das funções dadas nas eq. (4.8a) e (4.8b) possui um termo descrevendo a variação espacial da onda, e outro, a temporal. De fato, não é algo simples a visualização conjunta das variações no espaço e no tempo, e a maneira mais funcional para analisar a fase é fazê-la separadamente. Para simplificar ainda mais a discussão, faremos uso das ondas harmônicas definidas nas eq. (4.9a) e (4.9b). Vamos somar 2 ao argumento da função, o que não altera o valor da amplitude do campo da onda pois cos f = cos (f+2p). Ao fazermos este incremento de fase, sua origem pode ser oriunda tanto da parte espacial quanto temporal, isto é, a variação pode ser no valor de z ou no de t.

Tomemos inicialmente a variação de fase como sendo de origem temporal. Consideremos um dado instante de tempo t e que decorrido um intervalo de tempo T, a fase se altera como um todo de 2p. Desta forma, temos: . Neste caso, wT = 2p que nos leva a:

(4.12)

O intervalo de tempo T para o qual a onda harmônica se repete é chamado de período temporal da onda. A eq. (4.12) define a relação que deve existir entre período, freqüência angular w e freqüência f.

Tomemos a seguir a variação de 2p na fase como sendo oriunda da parte espacial. Desta forma, consideramos a onda em um dado ponto z e, no mesmo instante, o ponto (z+l), tal que este deslocamento espacial gere a variação de fase citada. Temos então que . Disto vem que kl = 2p e consequentemente:

(4.13)

Portanto, chegamos à conclusão que existe um período espacial dado por , à semelhança do período temporal já discutido. A eq. (4.13) define a relação entre o módulo do vetor de propagação e este período espacial, chamado de comprimento de onda. Isto evidencia que as partes espacial e temporal de uma onda participam em pé de igualdade, ou seja, tanto é possível haver alteração de uma onda através da passagem do tempo quanto da mudança de posição no espaço. A Fig. 4.2 ilustra o comportamento de uma onda harmônica como função da variável espacial para diversos tempos, isto é, como se a onda fosse fotografada periodicamente. A mudança de uma onda no tempo é algo muito comum em eletrônica, enquanto que a mudança de fase no espaço é algo próprio da óptica. Assim sendo, em eletrônica se faz a modulação de sinal no tempo, enquanto em óptica se pode modular não apenas no tempo, mas também no espaço.

 

 

Fig. 4.2 - Evolução temporal-espacial de uma onda harmônica.
Conforme o tempo passa, a onda caminha para a direita com velocidade v constante


 

 

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