Ondas Gaussianas
Uma solução importante da equação de ondas é aquela obtida ao se utilizar o Laplaceano em coordenadas cilíndricas:
onde
Substituindo esta solução tentativa na eq. (4.5), obtemos a equação de ondas na forma reduzida, que envolve apenas as coordenadas espaciais:
onde k2 = mew2 pode depender da coordenada radial se tivermos um meio do tipo lente. Entretanto, com o objetivo de simplificar os cálculos seguintes, vamos supor que o meio seja homogêneo, isto é, k é constante. Tomando apenas uma componente vetorial de
que quando substituida na eq. (4.15) resulta em:
onde
Substituindo na eq. (4.23) obtemos:
onde as derivadas de P e Q são relativas a z. Como esta igualdade é válida para qualquer r, devemos analisar as partes que possuem a mesma potência em r. Assim,
Desta forma, obtemos equações diferenciais, que embora não lineares, são de primeira ordem, e consequentemente fáceis de serem resolvidas. A solução da eq. (4.26a) resulta em:
onde q0 é uma constante de integração, que será analisada posteriormente. Utilizando este resultado na eq. (4.26b) é fácil mostrar que:
Podemos agora substituir os valores de P(z) e Q(z) na eq. (4.24) para encontrarmos a função y(r,z). Antes porém, vamos re-escrever a constante de integração como q0 = iz0, com z0 real. A razão de se considerar q0 imaginário é que esta é a única maneira de se obter uma solução que está confinada em torno do eixo z; caso contrário, o campo elétrico se estenderia exponencialmente até o infinito e esta é uma solução que não nos interessa. Desta forma temos:
onde as grandezas w(z) e R(z) foram introduzidas como:
onde w0 = 2z0/k é o valor de w(z) na origem (z = 0) e
Com estas definições o campo elétrico fica:
onde h(z) = tg-1(z/z0). Podemos agora fazer uma interpretação do significado desta expressão. A primeira parte da eq. (4.32) está ligada à amplitude do campo. Vemos que ao se modificar a coordenada radial o campo decai exponencialmente, de forma a seguir uma função gaussiana. O comportamento de E contra r está mostrado na Fig. 4.7. Para uma distância r = w(z), o valor de E decai para 1/e do valor em r = 0. Esta distância é chamada de raio do feixe. Na origem, o raio mínimo é w0, de acordo com a eq. (4.31a). Nesta posição temos a "cintura do feixe". Ainda de acordo com esta equação, vemos que z0= kw02/2 = nw02/l. Este parâmetro é chamado de intervalo de Rayleigh. Para z = z0, o raio do feixe aumenta de um fator
que é a equação de uma reta, que nos dá o ângulo de divergência do feixe como tgq
Fig. 4.7 - Variação da amplitude do campo com a coordenada radial. A segunda metade da eq. (4.32) está ligada à fase da onda. O termo mais interessante é o que possui R(z), que corresponde ao raio de curvatura da frente de onda, como discutido na seção 3.5. Quando a onda se propaga, a curvatura do feixe vai mudando conforme mostra a Fig. 4.8. Para r = 0 e r =
Fig. 4.8 - Propagação de um feixe gaussiano (a) e O feixe definido pela eq. (4.32) é chamado feixe gaussiano de ordem zero (TEM00), podendo existir feixes de ordem superior, cujas distribuições de intensidade na direção radial são mostrados na Fig. 4.9. Embora não demonstremos aqui, a amplitude do campo elétrico é modulada por um polinômio de Hermite. Alguns pontos a serem enfatizados com relação à eq. (4.32) são: (i) o raio da curvatura R(z) e o diâmetro do feixe mudam conforme ele se propaga na direção z, implicando numa divergência (ou convergência) do mesmo, (ii) em w(z) o campo é 1/e do valor em r = 0, (iii) o parâmetro confocal z0 = pw02n/l é a distância z em que o raio w(z) do feixe aumenta por um fator Fig. 4.9 - Distribuições transversais de intensidade para feixe não segue as leis da óptica geométrica devido à difração da luz no ponto focal, mas pode ser descrita através de matrizes (lei ABCD), como discutido na referência 4.3, e na seção seguinte.
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