Uma solução importante da equação de ondas é aquela obtida ao se utilizar o Laplaceano em coordenadas cilíndricas:

(4.19)

onde é a parte associada à coordenada radial. Fisicamente, o uso destas coordenadas implica que o meio possui condições de contorno com simetria azimutal, isto é, podem existir obstáculos circulares, meios do tipo lente como discutido no Cap. 2, etc. A solução que vamos obter a seguir é de observação bastante comum em laboratórios de óptica, pois corresponde ao tipo de luz emitida pela maioria dos lasers. Como o sistema de coordenadas particulares escolhido para o Laplaceano não tem influência na parte temporal do campo elétrico, é de se esperar que, como nos dois casos discutidos na seção anterior, ele seja dado por uma expressão do tipo:

(4.20)

Substituindo esta solução tentativa na eq. (4.5), obtemos a equação de ondas na forma reduzida, que envolve apenas as coordenadas espaciais:

(4.21)

onde k² = mew² pode depender da coordenada radial se tivermos um meio do tipo lente. Entretanto, com o objetivo de simplificar os cálculos seguintes, vamos supor que o meio seja homogêneo, isto é, k é constante. Tomando apenas uma componente vetorial de e supondo que a onda tem sua propagação confinada em torno do eixo z, fazemos a mudança de variáveis:

(4.22)

que quando substituida na eq. (4.15) resulta em:

(4.23)

onde e o termo proporcional a foi desprezado. Esta é ainda uma equação difícil de ser resolvida e sem nenhuma justificativa ad hoc, vamos tentar uma solução do tipo:

(4.24)

Substituindo na eq. (4.23) obtemos:

(4.25)

onde as derivadas de P e Q são relativas a z. Como esta igualdade é válida para qualquer r, devemos analisar as partes que possuem a mesma potência em r. Assim,

Desta forma, obtemos equações diferenciais, que embora não lineares, são de primeira ordem, e consequentemente fáceis de serem resolvidas. A solução da eq. (4.26a) resulta em:

(4.27)

onde q₀ é uma constante de integração, que será analisada posteriormente. Utilizando este resultado na eq. (4.26b) é fácil mostrar que:

(4.28)

Podemos agora substituir os valores de P(z) e Q(z) na eq. (4.24) para encontrarmos a função y(r,z). Antes porém, vamos re-escrever a constante de integração como q₀ = iz₀, com z₀ real. A razão de se considerar q₀ imaginário é que esta é a única maneira de se obter uma solução que está confinada em torno do eixo z; caso contrário, o campo elétrico se estenderia exponencialmente até o infinito e esta é uma solução que não nos interessa. Desta forma temos:

(4.29)

 

(4.30)

onde as grandezas w(z) e R(z) foram introduzidas como:

(4.31a)

onde w₀ = 2z₀/k é o valor de w(z) na origem (z = 0) e

(4.31b)

Com estas definições o campo elétrico fica:

(4.32)

onde h(z) = tg^-1(z/z₀). Podemos agora fazer uma interpretação do significado desta expressão. A primeira parte da eq. (4.32) está ligada à amplitude do campo. Vemos que ao se modificar a coordenada radial o campo decai exponencialmente, de forma a seguir uma função gaussiana. O comportamento de E contra r está mostrado na Fig. 4.7. Para uma distância r = w(z), o valor de E decai para 1/e do valor em r = 0. Esta distância é chamada de raio do feixe. Na origem, o raio mínimo é w₀, de acordo com a eq. (4.31a). Nesta posição temos a "cintura do feixe". Ainda de acordo com esta equação, vemos que z₀= kw₀²/2 = nw₀²/l. Este parâmetro é chamado de intervalo de Rayleigh. Para z = z₀, o raio do feixe aumenta de um fator quando comparado com o valor em r = 0. Ainda com relação à amplitude do campo, para r = 0, o feixe vai se abrindo conforme z aumenta e a amplitude decai com z, de acordo com w₀/w(z)= . É interessante notar que existe um tamanho mínimo para o diâmetro do feixe e isto está ligado ao fenômeno de difração, que veremos no Cap. 9. Para z muito maior que z0, a eq. (4.31a) prediz que w(z) w₀z/z₀. Usando a relação entre w₀ e z₀, e considerando que o diâmetro do feixe satisfaz r = w(z), temos:

(4.33)

que é a equação de uma reta, que nos dá o ângulo de divergência do feixe como tgq q = l/pnw₀. Iremos obter uma expressão similar a esta quando tratarmos da difração de luz por um fenda circular de raio w₀.

Fig. 4.7 - Variação da amplitude do campo com a coordenada radial.

A segunda metade da eq. (4.32) está ligada à fase da onda. O termo mais interessante é o que possui R(z), que corresponde ao raio de curvatura da frente de onda, como discutido na seção 3.5. Quando a onda se propaga, a curvatura do feixe vai mudando conforme mostra a Fig. 4.8. Para r = 0 e r = o raio de curvatura é infinito. O valor mínimo de R(z) ocorre para z = z₀ e vale R_min = 2z₀. Par z < 0, o raio de curvatura é positivo e se a luz caminha para a direita temos a divergência do feixe. Por outro lado para z 0, o raio de curvatura é negativo e o feixe estará convergindo.

Fig. 4.8 - Propagação de um feixe gaussiano (a) e
variação da amplitude do campo com coordenada radial.

O feixe definido pela eq. (4.32) é chamado feixe gaussiano de ordem zero (TEM₀₀), podendo existir feixes de ordem superior, cujas distribuições de intensidade na direção radial são mostrados na Fig. 4.9. Embora não demonstremos aqui, a amplitude do campo elétrico é modulada por um polinômio de Hermite. Alguns pontos a serem enfatizados com relação à eq. (4.32) são: (i) o raio da curvatura R(z) e o diâmetro do feixe mudam conforme ele se propaga na direção z, implicando numa divergência (ou convergência) do mesmo, (ii) em w(z) o campo é 1/e do valor em r = 0, (iii) o parâmetro confocal z₀ = pw₀²n/l é a distância z em que o raio w(z) do feixe aumenta por um fator , (iv) w₀ é o raio mínimo do feixe, obtido no ponto focal e (v) a propagação do

Fig. 4.9 - Distribuições transversais de intensidade para
feixes gaussianos de várias ordens.

feixe não segue as leis da óptica geométrica devido à difração da luz no ponto focal, mas pode ser descrita através de matrizes (lei ABCD), como discutido na referência 4.3, e na seção seguinte.