Na análise que fizemos até agora dos fenômenos envolvendo a fase, as partes espacial e temporal eram independentes, do tipo f(z,t)= kz - wt. Assim, a identificação da frequência da onda, associada à evolução temporal da fase, era imediata. Entretanto, podem ocorrer situações onde o índice de refração, e consequentemente o vetor de propagação, depende do tempo. Desta forma, a fase da onda torna-se f(z,t)= k(t)z - wt, e as partes espacial e temporal ficam misturadas pelo primeiro termo. Como a frequência encontra-se associada à evolução temporal da fase da onda eletromagnética, podemos definir:

(5.33)

como sendo a frequência generalizada da onda. Com este conceito podemos analisar alguns efeitos responsáveis pelo surgimento de novas componentes de frequência. Começaremos com o efeito eletro-óptico que pode modificar a frequência da onda, ou introduzir novas componentes de frequência, como veremos a seguir.

Existem cristais anisotrópicos não lineares (KDP, LiNbO3, LiTaO3, etc.) cujos índices de refração se modificam com a aplicação de um campo elétrico externo. Estes cristais são denominados eletro-ópticos. Consideremos uma onda propagando-se pelo cristal ao longo do eixo óptico z, com polarização na direção do eixo x, conforme mostra a Fig. 5.9. Um campo elétrico variável no tempo é aplicado, também na direção do eixo x. O índice de refração é dado por: n(t) = n₀ + aV(t), onde V(t) é a voltagem aplicada, é a resposta do cristal ao campo externo e n₀ é o índice de refração na ausência de campo. Esta variação do índice de refração produz uma alteração na fase da onda, que passa a ser:

Fig. 5.9 - Propagação de uma onda eletromagnética ao longo de um cristal eletro-óptico.

onde L é o comprimento do cristal, 0 é a frequência da luz incidente e k0 é o vetor de onda no vácuo. Vamos em seguida considerar dois tipos de voltagens aplicadas sobre o cristal, que são os casos de maior interesse prático.

a. A voltagem do tipo rampa

Nesta situação, V(t) = bt, e a fase de onda fica:

de forma que obtemos a frequência generalizada como:

(5.36)

isto é, o cristal eletro-óptico faz variar um pouco a frequência da luz, como mostrado na Fig. 5.10.

b. Voltagem senoidal

Neste caso, temos V(t) = Asent, onde é uma frequência gerada por uma fonte de rádio-frequência (em geral da ordem de 100 MHz), de forma que:

f(t) = k0n0L- w0t + k0aLAsent

(5.37)

que dá origem à uma frequência:

(5.38)

Fig. 5.10 - Alteração da frequência da luz ao passar por um cristal eletro-óptico com voltagem do tipo rampa.

que é modulada pelo termo cost. Para entendermos como esta modulação altera o espectro de frequência da luz, vamos analisar o que acontece com a onda plana neste caso.

E = E0 exp{i (k0n0L- w0t + k0aLAsent)}

(5.39)

O termo exp{i Msent}, com M = k₀LA, pode ser expandido numa série de funções de Bessel de acordo com:

(5.40)

de forma que o campo elétrico é dado por:

(5.41)

de onde vemos a criação de vários picos laterais à frequência fundamental 0. Lembrando-se que J_-n (M) = (-1)ⁿ J_n(M), temos um novo espectro de frequência da luz, que é mostrado na Fig. 5.11. Este tipo de modulação tem suas principas aplicações na geração de novas frequências para espectroscopia com laser e no "mode-locking" de lasers.

Fig. 5.11 - Geração de picos laterais (sidebands) através de modulação eletro-óptica.