Para mostrar como o grau de coerência está relacionado com as características da fonte, vamos considerar uma fonte quase monocromática com a seguinte propriedade: o campo varia senoidalmente por um tempo ₀, chamado de tempo de coerência, e então muda de fase abruptamente. Esta sequência se repete indefinidamente e a mudança de fase que ocorre a cada ₀está aleatóriamente distribuida entre 0 e , como mostra a Fig. 8.2.

Fig. 8.2 - Variação aleatória da fase a cada intervalo de tempo ?0

O campo elétrico pode ser expresso como:

Supondo novamente que e são paralelos e que possuem a mesma amplitude, temos:

e portanto,

Escrevendo a média temporal de forma explícita obtemos:

Para resolver esta integral devemos considerar dois casos: e , que serão analisados a seguir.

Caso a)

A Fig. 8.3 mostra como varia com o tempo. Para temos e para , temos . Logo, realizando explicitamente a integral temos:

Fig. 8.3 - Variação de com o tempo.

A segunda somatória é nula pois as variações de fase são aleatórias e quando somamos , os vários termos se cancelam. Assim sendo, substituímos a eq.

em e obtemos:

Caso b)

Agora, será sempre diferente de zero pois em t e t + as fases são diferentes. Assim, temos um termo e não teremos o termo não nulo em que = 0. Assim, para teremos sempre .

Para utilizarmos a eq. , devemos tomar a parte real de , dada por:

Com este resultado, podemos fazer o gráfico de , mostrado na Fig. 8.4. Se I₁ = I₂ = I₀, temos para e 2I₀ para .

Fig. 8.4 - Interferência entre dois feixes parcialmente coerentes.

Podemos ainda chamar como diferença de caminhos ópticos (supondo que n = 1) e como comprimento de coerência. Se quisermos ter interferência estacionária a desigualdade deve ser satisfeita. A seguir, vamos ver alguns exemplos numéricos para diferentes tipos de luz e para isto vamos usar a expressão , onde é a largura de linha, que será demonstrada na seção seguinte. Consideremos então as seguintes fontes emissoras de luz:

i) Lâmpada espectral: temos tipicamente e . O comprimento de coerência é . Mas ou que nos leva a

ii) Luz branca: agora temos e , que resulta em

iii) Radiação coerente (laser): um valor típico para é de 10⁴ Hz . Logo,