Efisica

As transformações de Lorentz

 

Nessa teoria não existe uma relação absoluta nem no espaço nem no tempo, mas existe uma relação absoluta entre o espaço e tempo. Dentro do contexto da teoria da Relatividade, o conceito de evento.

 

Consideramos x_1, x_2, x_3 e t como as quatro coordenadas de um evento no contínuo quadridimensional. Para relacionarmos as coordenadas dos eventos nos dois sistemas temos que recorrer à teoria de Einstein.

 

Para encontrarmos a transformação que nos leva de um conjunto de coordenadas de um evento (x, y, z, t) para outro (x^\prime, y^\prime, z^\prime, t^\prime)

 

(x, y, z, t)(x^\prime, y^\prime, z^\prime,t^\prime)

devemos procurar as transformações lineares mais gerais possíveis.

O fato de que essas transformações devem ser lineares decorre do seguinte:

1. Como o movimento do sistema B é retilíneo e uniforme, o movimento do sistema A (em relação a B) também é um movimento retilíneo e uniforme.

2. Para v = 0 a transformação se reduz à identidade.

x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = 0

3. Como a frente onda de um sinal luminoso se propaga com a mesma velocidade c, então se ele é enviado quando as origens coincidem e com t = t'= 0, podemos escrever para ela que:

Pode-se mostrar que a transformação linear mais geral, obedecendo a esses critérios, é a transformação de Lorentz especial:


	x^\prime = \frac{1}{\sqrt {1 - v^2 /c^2}}(x - vt)


	t^\prime = \frac{1}{\sqrt {1 - v^2 /c^2}}(t - v/c^2 x)

 


	y^\prime = y


	z^\prime = z

As transformações inversas são:

 

x = \frac{1}{\sqrt {1 - v^2 /c^2 }}(x^\prime - vt^\prime)

 

 

x = \frac{1}{\sqrt {1 - v^2 /c^2}}(x^\prime - vt^\prime)


	y^\prime = y

z^\prime = z

Como era de se esperar, essas últimas são obtidas das anteriores pela substituição

v → -v

Finalmente, podemos ver que, para fenômenos tais que 

\frac{v}
	{c} \ll 1

Podemos escrever, dentro de uma boa aproximação, utilizando as equações (1), (2), (3) e (4):


	x^\prime = x - vt


	t^\prime = t

Estas transformações são exatamente as transformações de Galileu.As transformações de Galileu são válidas como uma aproximação. No cotidiano é difícil perceber uma distinção entre elas. Isso explica por que só neste século viemos a nos dar conta de que as transformações de Galileu não são exatas.

Por exemplo, para um avião a jato que se move a 1080km/h (300m/s), v/c tem o valor


	\frac{v}
	{c} = \frac{{300}}
	{{300 \cdot 10^6 }} = 10^{ \cdot 6}

 

A alteração dos resultados são, portanto, imperceptíveis no nosso cotidiano.

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