Efisica

Algumas técnicas matemáticas

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A função delta de Dirac

Considere a função $\delta_{\epsilon}(p)$, definida assim:

\begin{eqnarray*}
\delta_{\epsilon}(p) & = & 0 \;\; para \;\; p > \epsilon \ 
...
... & \frac{1}{2\epsilon} \;\; para \;\;
-\epsilon < p < \epsilon
\end{eqnarray*}


Temos, claramente,
\begin{displaymath}
\int _{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}(p) dp =
\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\frac{1}{2\epsilon}dp =1
\end{displaymath} (181)

Seja $f(p)$ uma função contínua. Então,
\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^{\infty}f(p^{\prime})\delta_{\epsilon}(p-p^{...
...ilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon}f(p^{\prime})dp^{\prime}
\end{displaymath} (182)

No limite para $\epsilon \rightarrow 0$, esta última integral dá

\begin{displaymath}
2\epsilon f(p)
\end{displaymath}

de forma que a Eq.(182) pode ser escrita
\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^{\infty}f(p^{\prime})\delta_{\epsilon}(p-p^{\prime})
dp^{\prime} = f(p)
\end{displaymath} (183)

A função delta de Dirac, $\delta(p)$ é definida, simbolicamente, como o limite, para $\epsilon \rightarrow 0$, da função $\delta_{\epsilon}(p)$. Suas propriedades, que podem ser motivadas por esse limite, podem ser sintetizadas assim:

\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx & = & 1\\
\delta(x) & ...
...q 0\\
\int_{-\infty}^{\infty}dx \; f(x)\delta(x-a) & = & f(a)
\end{eqnarray*}


Nessas relações a integral não precisa realmente ir de $-\infty$ a $\infty$. Basta que seja em um intervalo que contenha o ponto em que o argumento da função delta se anula.




Estritamente, tal função não existe. Trata-se de um símbolo que abrevia muito os cálculos. Atendo-se às regras exibidas, nenhum dano é causado, a não ser à lógica, a vítima usual. A teoria que justifica essas operações e restitui a implacabilidade da lógica foi desenvolvida pelo grande matemático francês Laurent Schwartz, e se chama ``teoria das distribuições''. Para um tratamento adequado da ``função delta'' recomendamos as notas que se encontram no site do professor João Carlos Alves Barata,no endereço:

http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/arquivos/nc-cap12.pdf
Outras relações importantes envolvendo a ``função delta'' são as seguintes:
$\displaystyle \delta(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dk e^{i k
x}$ (184)
$\displaystyle \delta(-x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \delta(x)$ (185)
$\displaystyle \delta\left(f(x)\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\vert\frac{df}{dx}\vert _{x=x_0}}\delta(x-x_0)\;\;,
sendo \;\; f(x_0)=0$ (186)
$\displaystyle \delta(ax)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\vert a\vert}\delta(x)$ (187)
$\displaystyle \delta(\vec{r})$ $\textstyle =$ $\displaystyle \delta(x)\delta(y)\delta(z)$ (188)

onde, nesta última, se tem $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.


Integral de Fourier

A integral de Fourier é instrumento fundamental na mecânica quântica. Trata-se de uma extensão das séries de Fourier que permite obter expansões de funções que não são periódicas. Este não é o lugar para se adquirir fluência no uso, e uma boa compreensão dos métodos da análise de Fourier. O leitor deverá dedicar algum estudo a este tópico, presente em todos os livros de física-matemática. De minha parte recomendo o livro de Arnold Sommerfeld, Partial Differential Equations of Physics. Um belíssimo livro de matemática sobre este mesmo tema, é Körner, Fourier Analysis, um dos livros mais bonitos que já li.

A integral, ou transformada, de Fourier de uma função $f(x)$, é uma função $\tilde{f}(k)$ a ela ligada pelas relações

$\displaystyle f(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}dk \tilde{f}(k) e^{ikx}$ (189)
$\displaystyle \tilde{f}(k)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)
e^{-ikx}$ (190)

Pode-se verificar a consistência dessas relações com o uso da funçao $\delta(x)$:

\begin{eqnarray*}
f(x) & = & \int_{-\infty}^{\infty}dk\left(\frac{1}{2\pi}
\in...
...k(x-y)}\\
& = & \int_{-\infty}^{\infty}f(y)\delta(x-y) = f(x)
\end{eqnarray*}


A transformada de Fourier de uma função constante, $f(x) = K$, é:

\begin{displaymath}
\tilde{f(k)} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dx K e^...
...\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dx e^{-ikx} = K\delta(x)
\end{displaymath}

ou seja, a transformada de Fourier de uma constante é um múltiplo de $\delta(x)$. Um outro resultado importante é a transformada de Fourier de uma gaussiana: seja $f(x) = \exp{^{-\alpha x^2}}$. Sua transformada de Fourier é

\begin{displaymath}
\tilde{f}(k) =
\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{k^2}{4\alpha}}
\end{displaymath}

ou seja, a transformada de Fourier de uma gaussiana é outra gaussiana.
Henrique Fleming 2003

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