O Spin
- Elementos de matriz
- As matrizes de Pauli
- Interação Eletromagnética: Formalismo Hamiltoniano
- Acoplamento do spin com o campo magnético
Para introduzir o spin vamos apresentar um tratamento mais geral do momento angular. No tratamento anterior, tínhamos obtido que os autovalores




deviam ser periódicas, de período




Para comodidade do leitor, repetiremos aqui alguns dos resultados
que obtivemos anteriormente para o momento angular.
Da relação
concluímos que existe um valor máximo para o autovalor de
. Seja
este valor máximo, e
a autofunção
comum a
e
correspondente. Temos

Logo,

Usando (385),

ou

Conclui-se que o autovalor de









Em primeiro lugar, do fato de que
, segue que

ou seja, o autovalor de



Seja o mínimo valor de
. Então

Esta última tem duas soluções,














Na verdade essa nomenclatura não é a usada na prática,
embora seja a preferível, do ponto de vista da matemática.
Chama-se spin de um sistema o momento angular desse sistema quando
em repouso. Um elétron em repouso tem momento angular tal que
, um pion em repouso tem momento angular tal que
, e há mesons, ditos vetoriais, com momento angular em
repouso tal que
. É costume, por abuso de linguagem, dizer
que essas partículas têm spin
, spin
, spin
, etc.
Elementos de matriz
O caso mais importante do spin é aquele em que






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(385) |


Como todos esses elementos de matriz contêm o mesmo valor de


etc.
Obviamente
,
e
. Logo,
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(386) |
A completude dos autoestados de


que, inserida em (388), dá
e sabemos que



Além disso,


o que permite escrever, de (390),
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(390) |
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(391) |



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(392) |

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(393) |




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(394) |
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(395) |
De fato,
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(396) |
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(397) |

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(398) |

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(399) |



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(400) |
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(401) |
Os valores possíveis de

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(402) |


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(403) |
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(404) |
Verifica-se facilmente que
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(405) |
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(406) | |
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(407) |
onde introduzimos a matriz de Pauli

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(408) |
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(409) |
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(410) |


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(411) |
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(412) |
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(413) |
Representações matriciais de operadores são sempre em relação a uma base. Qual é a base usada nas representações matriciais acima? Para descobri-la, basta notar que a matriz que representa


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(414) |
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(415) |
Desta relação vemos que os autoestados de








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(416) |


As matrizes de Pauli
As matrizes![]() |
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(417) |
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(418) |
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(419) |
têm propriedades especiais que facilitam o cálculo das propriedades dos estados de spin 1/2.
P1:

P2:

P3:


P4:

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(420) |
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(421) |
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(422) |
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(423) |
e assim por diante.
É conveniente introduzir a notação

que descreve as




ou seja,

P5:



Teorema: Seja





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(424) |




A demonstração consiste em exibir esses números. Suponhamos o problema resolvido, isto é:
Tomando o traço termo a termo, temos:
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(426) |



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(427) |
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(428) |


Ora, os produtos


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(430) |
Ou,
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(431) |
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(432) |
Demonstra-se facilmente, usando este mtodo, que
e as três matrizes de Pauli são linearmente independentes.
Além disso, o espaço vetorial das matrizes 2x2 complexas tem dimensão
4. Logo, o conjunto considerado é uma base, e portanto os coeficientes
calculados acima são únicos.
Interação Eletromagnética: Formalismo Hamiltoniano
O problema que estudaremos aqui é o seguinte: uma
partícula de massa e carga
está sob ação de
um campo eletromagnético descrito por
e
.
Determinar o Hamiltoniano da partícula.
Não fosse pelo campo eletromagnético, o Hamiltoniano seria o de uma
partícula livre,

A força que age sobre uma partícula de carga


Em termos dos potenciais, temos,
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|
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Logo,
![\begin{displaymath}
\vec{F}=q\{-\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}[\frac{\partial\vec{A}}
{\partial t}-\vec{v}\times rot \vec{A}]\}
\end{displaymath}](http://efisica.if.usp.br/midia/fleming/img1313.png)
Como é bem sabido,22

Como

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|
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(433) |
ou seja,
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(434) |

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(435) |





Logo, a equação de Lagrange,


de modo que

Mas

de maneira que

Logo,
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(436) |



e, então,

Precisamos agora de uma propriedade importante das funções homogêneas, o teorema de Euler (ver Apêndice):

Vamos usá-lo para calcular o Hamiltoniano

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|
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(437) |
ou seja,
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(438) |



e, finalmente,
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(439) |

substituo




onde







Apêndice: O teorema de Euler
Uma função
é dita homogênea de grau
se


O teorema de Euler diz que, se é uma função homogênea de grau
, então
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(441) |


Acoplamento do spin com o campo magnético
Sejao hamiltoniano de uma partícula de spin 1/2 e carga

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(443) |
O acoplamento mínimo, estudado no parágrafo anterior, consiste na substituição de



Devemos, então, descrever as interações eletromagnéticas da partícula
usando o hamiltoniano
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(445) |
![$\left[\vec{\sigma}.
\left(\vec{p}-\frac{e}{c}\vec{A}\right)\right].
\left[\vec{\sigma}.\left(\vec{p}-\frac{e}{c}\vec{A}\right)\right]$](http://efisica.if.usp.br/midia/fleming/img1369.png)
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|||
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||
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||
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(446) |
Mas,
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(447) |
Escolhendo o gauge em que

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(448) |
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(449) |
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||
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||
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Reunindo tudo, temos
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(452) |
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(453) |
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(454) |


Há ainda, é claro, o termo
