Rotações e o momento angular
Uma partícula de massa
está em um estado de função de onda
. Vamos executar uma rotação infinitesimal
sobre o sistema.16 Em sua nova posição, a
função de onda será
desprezando-se os termos a partir dos quadráticos em
. Como
podemos escrever
Denotando o operador
por
, temos
O operador
é denominado momento
angular, e é escrito, mais detalhadamente, como
Da Eq.(264) se tira a expressão
ou, para as componentes,
Como
é hermiteano (por que?),
é unitário, e é a parte infinitesimal de
que, atuando sobre a função de onda de um sistema, produz a função de onda do mesmo, rodado de
.
Exemplo:
(1) Rotação em torno do eixo
: usando coordenadas
esféricas, uma rotação em torno do eixo
muda o valor da
coordenada
. A rotação que leva
em
é caracterizada por
, com
. Logo,
Seja
a função de onda do sistema (explicitamos apenas
o argumento que será alterado. A função de onda normalmente
dependerá de
,
e
, quando o sistema é descrito
em termos de coordenadas esféricas). A rotação considerada leva
. Mas
para transformações infinitesimais, e usando a fórmula dos acréscimos finitos do Cálculo. Outra maneira de escrever isto é
Comparando as duas expressões, tira-se facilmente que
A expressão explícita dos operadores
,
e
em coordenadas esféricas pode também ser obtida
diretamente da Eq.(270) utilizando as fórmulas de
transformação
Trata-se de um cálculo simples mas trabalhoso. Vamos seguir um caminho indireto mas mais iluminante. Primeiro, é conveniente medir o momento angular em unidades de
, isto é, introduzir
o operador
tal que
onde , de novo,
As expressões para as componentes de
são, como
segue de (270),
Por um cálculo direto, ou pelo uso da regra de Dirac17 obtêm-se:
Como as componentes
não comutam entre si, não há
autofunções comuns dessas componentes. Introduzindo o
momento angular total
observamos que
Como
segue que
A direção
não tendo nenhum privilégio, segue que:
Sendo assim, podemos construir autofunções comuns a
e uma das componentes de
. Por
causa da expressão simples de
em coordenadas
esféricas, escolhemos o par
,
.
Henrique Fleming 2003




desprezando-se os termos a partir dos quadráticos em


podemos escrever
Denotando o operador


![]() |
(266) |


Da Eq.(264) se tira a expressão
![]() |
(267) |
Como


é unitário, e é a parte infinitesimal de

que, atuando sobre a função de onda de um sistema, produz a função de onda do mesmo, rodado de

Exemplo:
(1) Rotação em torno do eixo








Seja






para transformações infinitesimais, e usando a fórmula dos acréscimos finitos do Cálculo. Outra maneira de escrever isto é

Comparando as duas expressões, tira-se facilmente que
![]() |
(271) |




Trata-se de um cálculo simples mas trabalhoso. Vamos seguir um caminho indireto mas mais iluminante. Primeiro, é conveniente medir o momento angular em unidades de



onde , de novo,

As expressões para as componentes de

Por um cálculo direto, ou pelo uso da regra de Dirac17 obtêm-se:
![]() |
(275) |


observamos que
![\begin{displaymath}[\hat{\vec{l}}^2,\hat{l}_x]=[\hat{l}_x^2,\hat{l}_x]+[\hat{l}_y^2,\hat{l}_x]+[\hat{l}_z^2,\hat{l}_x]
\end{displaymath}](http://efisica.if.usp.br/midia/fleming/img821.png)
Como
![]() |
(276) |
![]() |
(277) |
![]() |
(278) |
![\begin{displaymath}[\hat{\vec{l}}^2,\hat{l}_x]=0
\end{displaymath}](http://efisica.if.usp.br/midia/fleming/img825.png)
A direção

![\begin{displaymath}[\hat{\vec{l}}^2,\hat{l}_y]= [\hat{\vec{l}}^2,\hat{l}_z]=0\; ,
\end{displaymath}](http://efisica.if.usp.br/midia/fleming/img826.png)
Sendo assim, podemos construir autofunções comuns a




