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Perturbação periódica próxima à ressonância

Considere a perturbação periódica

\begin{displaymath} \hat{V}=\hat{F}e^{-i\omega t} + \hat{G}e^{i\omega t} \end{displaymath}

de freqüência $\omega$ tal que $E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}=\hbar( \omega + \epsilon)$ onde $\epsilon$ é pequeno. A equação básica é (604),
\begin{displaymath} i\hbar\frac{da_{m}}{dt}=\sum_{k}V_{mk}(t)a_{k} \end{displaymath} (621)

com
\begin{displaymath} V_{mk}(t)=F_{mk}e^{i(\omega_{mk}-\omega)t}+F_{km}^{*}e^{i(\omega_{mk}+\omega)t} \end{displaymath} (622)

Esta expressão contém expoentes de tamanhos diversos, um dos quais, $\epsilon$, é particularmente pequeno, aparecendo nas combinações $\omega_{mn}-\omega$ e $\omega_{nm}+\omega$. Como a solução de (604) envolve uma integração do segundo membro no tempo, usaremos o fato de que, quando um integrando possui vários termos oscilantes, a contribuição dominante é a daquele termo que oscila menos. A base matemática rigorosa para isto é o lema de Riemann-Lebesgue28. Podemos, então, aproximar as equações (604) por
\begin{displaymath} i\hbar \frac{da_{m}}{dt}=F_{mn}e^{i(\omega_{mn}-\omega)t} =F_{mn}e^{i\epsilon t}a_{n} \end{displaymath} (623)

e
\begin{displaymath} i\hbar\frac{da_{n}}{dt}=F_{mn}^*e^{-i\epsilon t}a_{m} \end{displaymath} (624)

Introduzindo a quantidade auxiliar

\begin{displaymath} b_{n}=a_{n}e^{i\epsilon t} \end{displaymath}

temos, para (624),
\begin{displaymath} i\hbar \dot{a_{m}}=F_{mn}b_{n}\; . \end{displaymath} (625)

Substituindo, em (625), $a_{n}$ em termos de $b_{n}$, ficamos com
\begin{displaymath} i\hbar \frac{d}{dt}\left(b_{n}e^{-i\epsilon t}\right)=F_{mn}^* e^{-i\epsilon t}a_{m} \end{displaymath} (626)

ou
\begin{displaymath} i\hbar\left(\dot{b_{n}}-i\epsilon b_{n}\right)=F_{mn}^* a_{m} \end{displaymath} (627)

Derivando mais uma vez,
\begin{displaymath} i\hbar\left(\ddot{b_{n}}-i\epsilon \dot{b_{n}}\right) =F_{mn}^*\dot{a_{m}} \end{displaymath} (628)

que, usada em (626), dá
\begin{displaymath} \ddot{b_{n}}-i\epsilon \dot{b_{n}}+\frac{1}{\hbar^2} \vert F_{mn}\vert^2 b_{n}=0 \end{displaymath} (629)

Trata-se agora de resolver esta equação diferencial linear a coeficientes constantes. Para isto existe um algoritmo bem conhecido: como todas as soluções de equações deste tipo podem ser escritas como exponenciais, procura-se a solução como uma exponencial genérica, escrita como

\begin{displaymath} b_n = e^{at} \end{displaymath}

com $a$ a determinar. Temos $\dot{b_{n}}=ae^{at}$ e $\ddot{b_{n}}=a^2e^{at}$. Inserindo estas expressões em (630) e cancelando a exponencial comum, obtemos
\begin{displaymath} a^2-i\epsilon a+\frac{1}{\hbar^2}\vert F_{mn}\vert^2=0 \end{displaymath} (630)

que é um equação do segundo grau. As soluções são
\begin{displaymath} a=\frac{i\epsilon \pm \sqrt{-\epsilon^2 -\frac{4}{\hbar^2} \vert F_{mn}\vert^2}}{2} \end{displaymath} (631)

Para simplificar esta expressão introduzimos algumas abreviações:

\begin{eqnarray*} \eta & = & \frac{F_{mn}}{\hbar}\\ \Omega & = & \sqrt{\frac{\epsilon^2}{4}+\vert\eta\vert^2} \end{eqnarray*}


Usando esta notação as soluções (632) podem ser escritas

\begin{eqnarray*} a_{1} & = & i\frac{\epsilon}{2}+i\Omega\\ a_2 & = & \frac{i\epsilon}{2}-i\Omega \end{eqnarray*}


e, portanto,
$\displaystyle b_{n}^{(1)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle e^{i\left(\frac{\epsilon}{2}+\Omega\right)t}$ (632)
$\displaystyle b_{n}^{(2)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle e^{i\left(\frac{\epsilon}{2}-\Omega\right)t}$ (633)

Como $a_{n}=b_{n}e^{-i\epsilon t}$, obtemos
$\displaystyle a_{n}^{(1)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle e^{i\left(-\frac{\epsilon}{2}+\Omega\right)t}$ (634)
$\displaystyle a_{n}^{(2)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle e^{i\left(-\frac{\epsilon}{2}-\Omega\right)t}$ (635)

Finalmente, introduzindo

\begin{eqnarray*} \alpha_{1} & = & -\frac{\epsilon}{2}+ \Omega\\ \alpha_{2} & = & \frac{\epsilon}{2}+\Omega \end{eqnarray*}


chegamos a
$\displaystyle a_{n}^{(1)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle A e^{i\alpha_{1}t}$ (636)
$\displaystyle a_{n}^{(2)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle B e^{-i\alpha_{2}t}$ (637)
$\displaystyle a_{m}^{(1)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\frac{A\hbar \alpha_{1}}{F_{mn}^*}e^{i\alpha_1 t}$ (638)
$\displaystyle a_{m}^{(2)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{B\hbar \alpha_{2}}{F_{mn}^*}e^{-i\alpha_{2}t}$ (639)

onde, para obter as duas últimas, usamos a eq.(625).

Note-se que um par ( $a_{n}^{(i)},a_{m}^{(i)}$) representa uma função de onda

\begin{displaymath} a_{n}^{(i)}\psi_{n}^{(0)}+a_{m}^{(i)}\psi_{m}^{(0)} \end{displaymath} (640)

A solução mais geral é dada por uma combinação linear dessas soluções, para $i=1$ e $i=2$. Como cada uma já foi escrita com uma constante multiplicativa arbitrária, temos
\begin{displaymath} \psi = \left(a_{n}^{(1)}+a_{n}^{(2)}\right)\psi_{n}^{(0)}+ \left(a_{m}^{(1)}+a_{m}^{(2)}\right)\psi_{m}^{(0)} \end{displaymath} (641)

ou
\begin{displaymath} \psi=\left(Ae^{i\alpha_1t}+Be^{-i\alpha_2t}\right)\psi_{n}... ...\hbar \alpha_2}{F_{mn}^*}e^{-i\alpha_2t}\right)\psi_{m}^{(0)} \end{displaymath} (642)

Como condição inicial, queremos que, para $t=0$, $\psi=\psi_{m}^{(0)}$. Tomando $t=0$ na eq.(643), vemos que devemos ter
$\displaystyle A+B$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (643)
$\displaystyle \frac{\hbar}{F_{mn}^*}\left(-A\alpha_1 + B\alpha_2\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1$ (644)

Conseqüentemente,
\begin{displaymath} B=-A = \frac{F_{mn}^*}{\hbar(\alpha_1+\alpha_2)} \end{displaymath} (645)

Note-se ainda que $\alpha_1 + \alpha_2 = 2\Omega$. A expressão para $\psi$ é, então:
\begin{displaymath} \psi=\frac{1}{2\Omega}\left(\alpha_1e^{i\alpha_1t}+\alpha_2... ...}\left(e^{i\alpha_1 t}-e^{-i\alpha_2t} \right)\psi_{n}^{(0)} \end{displaymath} (646)

O coeficiente de $\psi_{m}^{(0)}$ na equação anterior, depois de alguma álgebra, é escrito:
\begin{displaymath} e^{-i\frac{\epsilon}{2}t}\left[\cos{\Omega t}-\frac{i\epsilon}{2\Omega} \sin{\Omega t}\right] \end{displaymath} (647)

e o de $\psi_{n}^{(0)}$ dá
\begin{displaymath} -i\frac{\eta^*}{\Omega}e^{-i\frac{\epsilon}{2}t}\sin{\Omega t} \end{displaymath} (648)

de modo que
\begin{displaymath} \psi=e^{-i\frac{\epsilon}{2}t}\left[\left(\cos{\Omega t}-\f... ...i\frac{\eta^*}{\Omega}\sin{\Omega t}\; \psi_{n}^{(0)}\right] \end{displaymath} (649)

O sistema inicia (em $t=0$) no estado $\psi_{m}^{(0)}$. A probabilidade de ele estar, no instante $t$, no estado $\psi_{n}^{(0)}$, é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente de $\psi_{n}^{(0)}$, que é
\begin{displaymath} \frac{\vert\eta\vert^2}{\omega^2}\sin^2{\Omega t}=\frac{\vert\eta\vert^2}{2\Omega^2}(1-\cos{2\Omega t}) \end{displaymath} (650)

Na ressonância, isto é, para $\epsilon = 0$, temos $\Omega =\sqrt{\frac{\epsilon^2}{4}+\vert\eta\vert^2}=\vert\eta\vert$, logo, a probabilidade da transição é dada por
\begin{displaymath} \frac{1}{2}(1-\cos{2\vert\eta\vert t}) \end{displaymath} (651)

que varia periodicamente entre $0$ e $1$. Isto significa que, na ressonância, o sistema realiza transições periódicas entre $\psi_{m}^{(0)}$ e $\psi_{n}^{(0)}$. Note que a freqüência dessas transições não depende de nenhuma das freqüências presentes: ela é determinada por $\vert\eta\vert$, ou seja, pela intensidade da perturbação.
Henrique Fleming 2003

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