Operadores
Seja










Um dos princípios básicos da mecânica quântica é este:
(I) O conjunto das autofunções de uma quantidade física é completo. Isto é, dada uma função de onda
qualquer
do sistema, podemos expandí-la em autofunções de
assim:

onde os

(II)Fazendo-se uma medida de




Em conseqüência, devemos ter

pois


Temos, então, o resultado

Por outro lado, temos

logo,

de onde se conclui que

Finalmente, usando


de onde se conclui que

Diz-se então que as autofunções são ortogonais.
Valor médio
Vamos introduzir agora o conceito de valor médio 





Usa-se também a notação










para qualquer estado


onde usamos


Ora,

de maneira que


Sumarizando:
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(1) |
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(2) |
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(3) |
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(4) |
Os valores assumidos por uma quantidade física são reais. Portanto, os valores médios





Do fato de ser real segue uma propriedade importante dos operadores associados
a quantidades físicas:
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(5) |
onde





Vamos definir o operador transposto






Por exemplo, para


Da condição de realidade de

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(7) |

Operadores com esta propriedade são ditos hermiteanos. Logo, os operadores associados a quantidades físicas são operadores lineares hermiteanos.
Podemos, formalmente, considerar quantidades físicas complexas, isto é, cujos autovalores são
complexos. Por exemplo, dadas as coordenadas e
,podemos considerar a quantidade
. Seja
uma quantidade desse tipo, e seja
a quantidade cujos autovalores são os complexo-conjugados
dos autovalores de
. À quantidade
corresponde o operador
. Denotemos por
o operador correspondente à quantidade
. Este operador é
denominado o adjunto
de
.
O valor médio da quantidade é dado por

onde apenas adaptamos a definição de média de um operador.
Ora,

logo,

Mas

Ou seja,

Comparando, temos

Em palavras, o adjunto é o transposto do conjugado.
A condição de hermiticidade de um operador, escrita anteriormente como

pode agora ser escrita:

e os operadores hermiteanos são aqueles que coincidem com os adjuntos. Daí serem chamados também de auto-adjuntos.
Vamos agora mostrar que a ortogonalidade das autofunções de um operador hermiteano
pode ser demonstrada diretamente.
Sejam e
dois autovalores diferentes do operador hermiteano
.
Sejam
e
as autofunções correspondentes. Então,
Multiplicando a primeira por


e
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(10) |


Mas

pois


e, como


Adição e subtração de operadores
Sejam











e, portanto,

Este resultado pode ser generalizado para funções de onda quaisquer, assim:

Neste caso, tem-se

A multiplicação de operadores é definida assim:

Suponhamos que




e

Logo, para as autofunções simultaneas, temos

Isto não é suficiente para se concluir que o operador

Contudo, como o conjunto das autofunções


e

Logo, o operador

![\begin{displaymath}[\hat{f},\hat{g}]\equiv \hat{f}\hat{g}-\hat{g}\hat{f}
\end{displaymath}](http://efisica.if.usp.br/midia/fleming/img146.png)
é diferente de zero. Henrique Fleming 2003