Efisica

Potenciais com simetria central

Chamam-se assim os potenciais que, expressos em coordenadas esféricas, são funções apenas da variável radial $r$. O caso mais importante, naturalmente, é o do átomo de Hidrogênio. Vamos tratar primeiramente o caso geral.
\begin{displaymath}
-\frac{\hbar^2}{2m}\; \vec{\nabla}^2\psi(r,\theta,\phi)+V(r)\psi(r,\theta,\phi)
= E\psi(r,\theta,\phi)
\end{displaymath} (330)

é a equação de Schrödinger para estados estacionários de uma partícula de massa $m$ cuja energia potencial depende apenas da distância à origem. Utilizando coordenadas esféricas, temos
\begin{displaymath}
\vec{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\l...
...ac{\partial}{\partial r}\right)-
\frac{\hat{\vec{l}}^2}{r^2}
\end{displaymath} (331)

onde
\begin{displaymath}
\hat{\vec{l}}^2=-\left(\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\parti...
... \theta}(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta})\right)
\end{displaymath} (332)

é o operador de momento angular total (veja Eq.(294) e anteriores).

Vamos procurar soluções da Eq.(331) que sejam da forma

\begin{displaymath}
\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta, \phi)
\end{displaymath}

Como $\hat{\vec{l}}^2Y_{lm}=l(l+1)Y_{lm}$, tem-se
    $\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\left\{\frac{1}{r^2}Y_{lm}(\theta,\phi)
\frac{...
...ft(r^2\frac{dR}{dr}\right)-\frac{R(r)}{r^2}l(l+1)Y_{lm}(\theta,\phi)
\right\} +$  
    $\displaystyle + V(r)R(r)Y_{lm}(\theta, \phi)=E R(r) Y_{lm}(\theta, \phi)$ (333)

Cancelando $Y_{lm}$,
\begin{displaymath}
-\frac{\hbar^2}{2m}\;\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left(r^2\f...
...}{dr}\right)+
\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}R(r)+V(r)R(r)=ER(r)
\end{displaymath} (334)

Introduzimos agora a função

\begin{displaymath}
u(r)=r R(r)
\end{displaymath}

satisfazendo $u(0) = 0$. Reescrevendo a Eq.(334) em termos de $u(r)$, obtém-se
\begin{displaymath}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2}+\left[\frac{\hbar^2 l(l+1)} {
2mr^2} + V(r)\right]u(r)=Eu(r)
\end{displaymath} (335)

Esta é a chamada equação radial de Schrödinger, e contém toda a dinâmica. Lembrando a condição $u(0) = 0$, decorrência de que $u(r)=rR(r)$ com $R(r)$ regular na origem (os casos interessantes fisicamente não são aqueles em que a partícula tem probabilidade zero de estar em qualquer lugar que não a origem!), podemos interpretar a equação acima como uma equação de Schrödinger de um movimento unidimensional sujeito aos seguintes ``potenciais'':(a) Uma parede impenetrável em $r=0$, que impede a passagem da partícula para valores negativos de $r$. (b) Um potencial do tipo $\frac{1}{r^2}$ repulsivo, chamado de potencial centrífugo. (c) O verdadeiro potencial, $V(r)$.
O potencial centrífugo vem do fato de que a eliminação das variáveis $\theta$ e $\phi$, é formalmente eqüivalente a colocar-se em um sistema de referência que ``gira'' com o sistema físico, ou seja, em um sistema não-inercial. Surgem, então, as chamadas forças de inércia, das quais a força centrífuga é a mais popular.19
Henrique Fleming 2003

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