Efisica

O espectro contínuo

A equação de Schrödinger de um sistema físico de hamiltoniano $\hat{H}$ é

\begin{displaymath}
i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi
\end{displaymath}

Suponhamos que $\psi$ seja um estado estacionário, ou seja, que

\begin{displaymath}
\psi(\vec{r},t) = \psi(\vec{r})e^{-\frac{i}{\hbar}Et}
\end{displaymath}

Inserindo-se esta expressão na equação de Schrödinger , obtém-se uma equação para $\psi(\vec{r})$, que é
\begin{displaymath}
\hat{H}\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r})
\;\;,
\end{displaymath} (191)

conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo. Resolvê-la é determinar o par $(\psi(\vec{r}), E)$, onde $E$ é um número.

Para exemplificar, vamos tratar um caso muto simples: uma partícula livre, de massa $m$, que se move ao longo do eixo $x$. Neste caso

\begin{displaymath}
\hat{H}
=\frac{\hat{p}^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial
x^2}
\end{displaymath}

e a Eq.(191) é
\begin{displaymath}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi \;\;.
\end{displaymath} (192)

Introduzindo

\begin{displaymath}
k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}
\end{displaymath}

podemos reescrever a equação acima assim:
\begin{displaymath}
\frac{d^2\psi}{dx^2}= -k^2\psi \;\;,
\end{displaymath} (193)

cuja solução geral é
\begin{displaymath}
\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}
\end{displaymath} (194)

com $A$ e $B$ arbitrários. Existe solução para todo $k$, e, como

\begin{displaymath}
E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m} \;\;,
\end{displaymath}

existe solução para todo $E\geq 0$. Diz-se então que o espectro é contínuo.

Seja $\hat{O}$ um operador associado a uma quantidade física de espectro contínuo. Escreveremos a equação de autovalores assim:

\begin{displaymath}
\hat{O} \psi_{f} = O_{f}\psi_{f}
\end{displaymath} (195)

onde o índice $f$ agora varia continuamente. Como veremos mais tarde, as autofunções associadas a um espectro contínuo não são normalizáveis, isto é, não é possível impor para elas a condição

\begin{displaymath}
\int \vert\psi_{f}\vert^2 dq =1
\end{displaymath}

Exemplo: a função de onda de um estado estacionário de uma partícula livre, cuja parte espacial vimos na Eq.(194), é
\begin{displaymath}
\psi(x,t) = A e^{i(kx-\omega
t)}=Ae^{ikx}e^{-\frac{i}{\hbar}Et}
\end{displaymath} (196)

onde usamos $\omega = \frac{E}{\hbar}$. Então

\begin{displaymath}
\vert\psi(x,t)\vert^2 = \vert A\vert^2
\end{displaymath}

e, por isso,

\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^{\infty}dx \vert\psi(x,t)\vert^2 =
\vert A\vert^2\int_{-\infty}^{\infty}dx = \infty \;\;\;!
\end{displaymath}

A seguir vamos descobrir uma maneira de normalizar adequadamente as autofunções ligadas a um espectro contínuo.

Seja $\psi$ uma função de onda normalizável. A expansão dela em autofunções da quantidade física $\hat{O}$, cujo espectro é contínuo, é

\begin{displaymath}
\psi=\int df a_f \psi_f
\end{displaymath} (197)

Queremos que $\vert a_f\vert^2df$ seja a probabilidade de que, efetuada uma medida de $\hat{O}$, o valor obtido esteja entre $f$ e $f+df$. Logo, $\int \vert a_f\vert^2 df =1$. Da mesma forma, $\int dq \vert\psi(q)\vert^2
=1$. Segue que
\begin{displaymath}
\int a_f^* a_f df = \int \psi^* \psi dq
\end{displaymath} (198)

e, como
\begin{displaymath}
\psi^* = \int df a_f^* \psi_f^* \;\;,
\end{displaymath} (199)

também que
\begin{displaymath}
\int a_f^* a_f df = \int\left(\int df a_f^*
\psi_f^*\right)\psi dq = \int df a_f^* \int dq \psi_f^* \psi
\end{displaymath} (200)

Comparando o primeiro termo com o último, temos
\begin{displaymath}
a_f = \int dq \psi_f^* \psi \;\;\;\;(Fourier)
\end{displaymath} (201)

que permite calcular os coeficientes da expansão $\psi=\int df a_f
\psi_f$.

Rescrevendo a expansão acima como $\psi = \int
df^{\prime}a_f^{\prime}\psi_f$ e usando-a na Eq.(656), temos

\begin{displaymath}
a_f = \int dq \psi_f^*\int
df_{\prime}a_{f^{\prime}}\ps...
...f^{\prime} a_{f^{\prime}}\int dq \psi_f^*
\psi_{f^{\prime}}
\end{displaymath} (202)

Mas
\begin{displaymath}
a_f = \int df^{\prime} a_{f^{\prime}}\delta(f-f^{\prime})
\end{displaymath} (203)

Comparando as duas últimas, obtém-se
\begin{displaymath}
\int dq \psi_f^* \psi_{f^{\prime}} = \delta (f - f^{\prime})
\end{displaymath} (204)

que é a relação de ortogonalidade para autofunções do espectro contínuo. Conseqüentemente, as relações básicas para o espectro contínuo são:
$\displaystyle \psi$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int df a_f \psi_f$ (205)
$\displaystyle \int \psi^* \psi dq$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int df \vert a_f\vert^2$ (206)
$\displaystyle a_f$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int dq \psi_f^* \psi$ (207)
$\displaystyle \int \psi_f^* \psi_{f^{\prime}} dq$ $\textstyle =$ $\displaystyle \delta(f - f^{\prime})$ (208)

Henrique Fleming 2003

© 2007 - Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada. Todos os direitos reservados