Subsections
Seja

um operador linear num espaço vetorial

sobre os números complexos. Seja

, com

, uma base desse espaço, que, portanto, tem dimensão

. Aplicando-se

a um elemento da base, por exemplo,

,
tem-se um novo vetor do espaço, que pode ser expandido na base
dada. Esta expansão é escrita
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(868) |
onde os

são números complexos, denominados
elementos
de matriz de

na base

.
Seja
um vetor qualquer de
, tal que
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(869) |
Temos
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(870) |
e, usando (
869),
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(871) |
A equação (
872) mostra que, de posse dos elementos de
matriz de

, é possível determinar a ação deste operador
sobre qualquer vetor. Ou seja, escolhida uma base, o operador pode
ser substituído pelo conjunto de seus elementos de matriz. Convenciona-se
escrever o conjunto desses elementos de matriz da seguinte forma:
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(872) |
Uma segunda maneira de ler a eq.(
872) é : as componentes
do vetor

em relação à base dada são os números
complexos
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(873) |
Se representarmos os vetores por matrizes coluna cujos elementos são as
suas componentes,
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(874) |
podemos representar a ação de um operador sobre um vetor assim:
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(875) |
onde, para calcular o segundo membro, usam-se as regras de produtos de
matrizes usuais.
O leitor, como exercício, poderá mostrar que a representação matricial
do operador
, produto dos operadores
e
, é dada pelo produto, no sentido de matrizes, das matrizes que
representam
e
, nesta ordem. Recordemos que o produto
das matrizes
, de elementos
e
, de elementos
, é a
matriz de elementos
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(876) |
regra que pode ser obtida facilmente da equação (
869).
Seja
uma segunda base. Podemos escrever
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(877) |
enquanto que, em relação à primeira (para o
mesmo 
)
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(878) |
onde indicamos com

e

as matrizes que representam

nas bases

e

respectivamente.
As matrizes

e

representam o mesmo operador em bases distintas.
Matrizes com esta propriedades são ditas
equivalentes. O que
caracteriza matrizes equivalentes?
Um elemento qualquer da base (f) pode ser expandido na base (e):
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(879) |
e analogamente,
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(880) |
Logo, segue que
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(881) |
ou
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(882) |
de onde segue, imediatamente, que
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(883) |
Invertendo os papeis das bases (e) e (f), obtém-se, da mesma maneira,
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(884) |
Seja

a matriz cujos elementos são

, e

aquela cujos elementos são

. Então as equações
(
884) e (
885) são escritas, respectivamente,
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(885) |
e
 |
(886) |
Quando, entre duas matrizes, existe este par de relações, uma é o inverso
da outra. Ou seja,
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(887) |
ou, equivalentemente,
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(888) |
A condição necessária e suficiente para que uma matriz tenha inverso
é que seu determinante seja diferente de zero.
Sejam

e

duas representações matriciais do operador

, ou seja, duas matrizes equivalentes. Temos
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(889) |
Por outro lado,
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(890) |
Igualando (
890) e (
891), temos
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(891) |
ou, na linguagem das matrizes,
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(892) |
ou, na forma mais comum,
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(893) |
Em palavras, duas matrizes

e

são equivalentes se existir
uma matriz não-singular (isto é, que tem inversa)

tal que
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(894) |
Uma relação desse tipo entre matrizes

e

é dita também uma
transformação de eqüivalência, ou de semelhança. A riqueza de sinônimos
revela a idade do problema!
Sejam

um operador linear e

um vetor tais que
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(895) |
onde

é um número complexo. Diz-se que

é um autovetor
de

, e que

é um
autovalor de

.
A equação acima pode ser escrita assim:
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(896) |
Suponhamos que o operador

tenha inverso, denotado
por

. Então, aplicando-se

à esquerda de (
897), temos
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(897) |
o que é absurdo, pois

, como autovetor, deve ser não-nulo.
Conclui-se que o operador

é singular,
ou seja, não tem inverso. Em conseqüência, suas representações matriciais
também não terão inverso.
A versão matricial da eq.(897) é
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(898) |
onde

é o elemento

da matriz

, que representa o operador

em alguma base, e

é o elemento

da matriz
que representa o operador

. Em conseqüência da conclusão acima,
o primeiro membro da eq.(
899) deve ser uma matriz singular
(sem inverso). Logo, devemos ter
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(899) |
que é uma maneira simplificada de dizer que o determinante da matriz cujo
elemento genérico é

é zero.
Esta equação,
sendo a incógnita, é uma equação algébrica
de ordem igual à dimensão
do espaço, ou, o que é o mesmo,
igual à ordem da matriz. Em prinípio tem
soluções, mas não
necessariamente distintas. Estas soluções são os autovalores do operador,
e são também chamadas de autovalores da matriz que representa o operador.
A equação (900) é conhecida como equação secular.
Seja
uma matriz, de elementos
, que são números
complexos. Seja
um autovalor da matriz
. Isto quer dizer que existe
tal que36
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(900) |
ou
Mais geralmente, seja

o autovetor correspondente ao
autovalor

,
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(902) |
Escrevendo a relação acima em componentes, temos
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(903) |
ou
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(904) |
Considere a matriz cujos elementos são
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(905) |
Então
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(906) |
ou, definindo a matriz diagonal

, de elementos
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(907) |
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(908) |
ou, como uma equação matricial,
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(909) |
Se a matriz

for inversível, isto é, se existir

,
obtemos, aplicando

à esquerda,
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(910) |
A matriz

foi transformada, por uma ``transformação de semelhança'',
numa matriz diagonal. Seja

o operador linear que, em relação a uma
determinada base, possui a representação matricial

. A equação (
911)
mostra que, no caso de

possuir inversa, existe uma outra base
na qual

é representado pela matriz diagonal

.
Que matriz é
? Sejam
os autovetores de

, para

. Seja a matriz construída justapondo-se
essas matrizes colunas designada por

. Então
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(911) |
A matriz

é a transposta de

, ou seja,
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(912) |
Condição necessária e suficiente para que exista

é que o determinante de

seja diferente de zero. Ora,
uma condição suficiente para que o determinante de uma matriz
seja não-nulo é que suas linhas sejam linearmente independentes.
Como as linhas de

são os autovetores

, conclui-se
que uma condição suficiente para que exista

é que
os autovetores de

sejam linearmente independentes. Um corolário
é que, se

é hermiteana, ela é diagonalizavel, pois o conjunto
dos autovetores de uma matriz hermiteana forma uma base, o que significa
que os autovetores são linearmente independentes.
Diagonalizar a matriz complexa
37
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(913) |
A equação secular (
900) é, neste caso,
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(914) |
ou
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(915) |
cujas soluções são
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(916) |
Então a matriz, quando estiver na forma diagonal, será
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(917) |
Contudo, vamos construir explicitamente a transformação de
semelhança que leva

à forma diagonal. Para isso
precisamos determinar os autovetores de

. Seus autovalores
já foram determinados: são

e

. Temos
Seja

o autovetor associado ao autovalor

. Então,
Denotando o vetor

pela matriz coluna
temos, para (
920):
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(920) |
Realizando o produto de matrizes do primeiro termo, temos
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(921) |
Como a igualdade de matrizes implica na igualdade, um a um,
dos termos de mesmos índices, temos
A solução mais geral dessas equações é a matriz coluna
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(924) |
onde

é qualquer número diferente de zero. Esta ambigüidade era
esperada, pois, pela linearidade dos operadores em questão, se

é um autovetor correspondendo a um determinado autovalor,
qualquer múltiplo não-nulo seu também o é. Uma maneira de
levantar a ambigüidade é exigir que o vetor seja normalizado. Isto se
faz assim: o produto escalar de

consigo mesmo é
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(925) |
Logo, devemos ter

(a fase, como sempre, é
escolhida arbitrariamente). Portanto,
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(926) |
Um cálculo análogo leva a
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(927) |
Note-se que
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(928) |
que mostra que os autovetores são ortogonais, e, portanro, linearmente
independentes. A matriz

procurada é, então,
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(929) |
Como

, ela possui inversa, que é
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(930) |
Resta mostrar que
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(931) |
De fato,
Henrique Fleming 2003