A Mecânica Quântica Relativista
- Introdução
- A equação de Schrödinger livre
- A equação de Klein-Gordon
- A equação de Dirac
- Interpretação probabilística
- Determinação das matrizes de Dirac
- Formulação covariante da equação de Dirac
- Corrente de Probabilidade
- Soluções especiais: partícula em repouso
- Soluções de energia negativa
- Interação com o campo eletromagnético
- A anti-matéria
Introdução
Estas notas reproduzem parte das transparências apresentadas no curso de verão de 2003 do Instituto de Física da USP. A parte relativa à equação de Dirac e à anti-matéria é reproduzida in toto. Resolvemos substituir a parte que tratava de neutrinos e do problema solar por indicações à literatura existente, principalmente na internet, que é de facil acesso e excelente qualidade.Para o estudo do problema dos neutrinos solares, recomendamos o endereço:
http://www.hep.anl.gov/ndk/hypertext/nuindustry.htmlMuitas outras informações sobre o tema, e sobre física em geral, podem ser encontradas no meu site:
http://hfleming.com
O estudo da equação de Dirac na linha aqui apresentada encontra-se
em
Sakurai, ``Advanced Quantum Mechanics'', Addison-Wesley Press
e em
T. D. Lee, ``Particle Physics and Introduction to Field Theory''.
Um tratamento elementar, mas de qualidade, sobre a física dos
neutrinos encontra-se em
C. Sutton, `` Spaceship Neutrino''
A equação de Schrödinger livre

A equação de Klein-Gordon

A equação de Klein-Gordon é de segunda ordem no tempo, o que
cria dificuldades com o postulado básico da Mecânica Quântica
que diz que o estado de um sistema está completamente determinado
(inclusive em sua evolução) se se conhece a função de onda em um instante
qualquer. Além disso, a conservação da probabilidade, expressa pela
equação da continuidade
![]() |
(863) |


2.A equação de Klein-Gordon não é de primeira ordem no tempo.
A equação de Dirac
Procura-se: equação relativista de primeira ordem no tempo. Uma expressão geral é:![]() |
(864) |





Exemplo:
![]() |
(865) |
Em termos dos elementos de matriz a equação é:

Todos os elementos das 's e de
devem ainda ser determinados. Para
isso vamos impôr a condição que, para cada componente
, valha a
equação de Klein-Gordon, ou seja,

A motivação é a seguinte. Considere as equações de Maxwell (escritas no sistema CGS, como todo físico que se preza faz!) na ausência de cargas e correntes:

É um sistema de equações lineares, de primeiro grau, que mistura as várias componentes de



ou

que é a mesma coisa que

para todo


para todo

Ora, a teoria de Maxwell é relativisticamente invariante, e essas duas últimas
relações mostram uma propriedade que essas equações devem satisfazer. Mas elas
não são senão as equações de Klein-Gordon para . Logo, justifica-se
a exigência de que, para cada componente de
, a equação de Klein-Gordon
seja satisfeita. Resumindo, se
é uma solução da equação de Dirac,
exigiremos que

para todo

Interpretação probabilística
Preliminarmente precisamos de uma interpretação probabilística. Gostaríamos de ter
por ser esta uma quantidade positiva e que generaliza o


(se a integral é sobre todo o espaço), teremos

Da equação de Dirac se tira

Inserindo esta na penúltima,

de onde segue que

ou seja,


Mais precisamente, temos que, com

onde



Determinação das matrizes de Dirac
Reescrevendo a equação de Dirac como![]() |
(866) |


temos, após alguns cancelamentos,

Para que isto se reduza a

devemos ter:

Uma solução para essas equações pode ser construída da seguinte maneira: sejam




As matrizes de Dirac são matrizes 4x4 definidas, em termos das anteriores, assim:


ou, mais explicitamente,

e assim por diante.
Formulação covariante da equação de Dirac
Queremos colocar a equação de Dirac numa forma em que o tempo e as coordenadas apareçam simetricamente. Notação:
Assim, o invariante relativístico




A euqção de Dirac é:

onde


Multiplicando a equação de Dirac à esquerda por


para


ou

com

Corrente de Probabilidade
Seja

Então obtém-se, da equação de Dirac,

O quadrivetor densidade de corrente de probabilidade,


que é a forma 4-dimensional da equação da continuidade.
Soluções especiais: partícula em repouso
Para uma partícula em repouso,
onde



para


Com isso, a equação de Dirac fica:

Explicitamente, temos

Autoestados da energia têm a forma

Logo, para essas funções,

Cancelando as exponenciais reduz-se a

Logo,

ou seja, as soluções são

Todas estas podem ser escritas como combinações lineares de

e

Soluções de energia negativa
Surpreendentemente, porém, a equação

admite a classe de soluções

como se verifica facilmente. Logo, temos ainda como soluções as combinações lineares

e

Note que se trata de soluções correspondentes a partículas livres e em repouso. Além das soluções esperadas, com energia


Interação com o campo eletromagnético
Usando, na equação de Dirac
o acoplamento mínimo,

(veja <http://fma.if.usp.br/~fleming/eletromag/index.html>).Como

obtém-se:

A anti-matéria
A proposta de Dirac para resolver o problema dos estados de
energia negativa é: todos os estados de energia negativa estão
preenchidos, e esta situação é o que chamamos vácuo. Isto faz sentido
porque os elétrons são férmions, e, como se sabe, ``só cabe um
férmion em cada estado''. Vivemos no meio dos estados de energia negativa mas
não os vemos. No entanto, quando um desses elétrons de energia negativa
recebe energia suficiente para pular para um estado de energia positiva
(esta energia é, no mínimo, 
As soluções de onda plana
Estas soluções, que são estados de momento e energia definidos e arbitrários, podem ser obtidas das de repouso por transformações de Lorentz. Vamos nos limitar a apresentar uma tabela delas. É um exercício simples verificar que as expressões a seguir efetivamente satisfazem as equações de Dirac.Energia positiva:



Energia negativa:



A função de onda do buraco
Dada a equaçãoqueremos mostrar que, para cada



com a propriedade

onde



Aplicando



Para que esta equação reproduza Eq.(868), devemos ter

A solução é

com


Exemplo:


e

Assim, dada uma solução





