Efisica

O oscilador harmônico simples

 


O movimento harmônico simples é definido como aquele no qual a força que atua sobre a partícula tem a forma

F(x) = -k x .

A lei de Newton então se escreve, nesse caso

.

ou seja, a força é proporcional ao deslocamento, mas na direção contrária do mesmo.

mola e movimento

Um exemplo simples desse tipo de força ocorre no caso em que procuramos deformar uma substância elástica. Enquanto a deformação não for muito grande a força é proporcional ao deslocamento (ou à deformação imposta), mas atua sempre no sentido contrário ao dele. É uma tendência ou reação natural, no sentido de buscar a restauração da forma original. Por isso k é sempre referido como a constante elástica.

ondas

Podemos encontrar uma solução da equação acima pelo método da tentativa e erro. Sabemos que a função é tal que

Portanto a expressão acima nos sugere buscar uma solução para da forma

.

mola

Substituindo em constataremos que, de fato é uma solução se

.

A solução encontrada demonstra que o valor máximo do deslocamento (xm) é

xm = A .

A é portanto a amplitude do movimento. A constante é uma fase, por enquanto, arbitrária.

Note-se que o movimento nesse caso é periódico. O período é determinado a partir da condição:

x(t + T) = x(t) .

De segue que

Portanto, o período do movimento harmônico simples é .

A freqüência, sendo o inverso do período será dada por

.

As constantes A e podem ser determinadas a partir das condições iniciais. Isto é, a partir da posição e da velocidade iniciais

x(0) = x0

e
v(0) = v0.

Notemos primeiramente que a velocidade da partícula no movimento harmônico simples será dada por

.

grafico mhs

 

Portanto, a velocidade máxima (ou mínima) da partícula será dada pelo produto da amplitude pela freqüência angular:

.

A velocidade máxima (ou mínima) ocorre nos pontos onde x = 0.

A aceleração será, de

.

Como esperado, obtemos de e que

.

Estamos agora em condições de determinar a amplitude e a fase em função de v0 e x0. De segue que

.

De segue que

.

Portanto, a amplitude pode ser determinada, por exemplo, a partir das condições iniciais. De e segue que

.

e

.


 

 

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