Efisica

Propagação de incertezas

 


Muitas vezes usaremos o valor do mensurando numa equação para determinar uma outra grandeza qualquer. O que fazer com a incerteza associada? Para o mensurando temos a incerteza do processo de medida, enquanto que para grandezas determinadas através de fórmulas temos a incerteza propagada.

O problema pode ser posto da seguinte maneira: dada uma função w = w(x, y, z) onde x, y, z são grandezas experimentais com incertezas dadas por x, y, z e independentes entre si, quanto vale w ? A independência entre x,y, zé necessária para a validade das fórmulas a seguir, mas não será discutida por enquanto.

Para simplificar suponha w apenas função de x. No gráfico abaixo está representando w(x).

Grafico1 - w versus x

A incerteza de w, neste gráfico, pode ser obtida pela simples projeção da incerteza de x. Para pequenos intervalos no eixo x, temos em primeira ordem:

Para mais de uma variável independentes entre si, podemos escrever uma fórmula geral (visualize uma soma de catetos em n dimensões):

Acompanhe os exemplos a seguir:

a. Adição de valores experimentais

 

Considere a soma de dois segmentos:

Segmento 01 - soma


A incerteza no segmento soma pode ser calculada aplicando a equação anterior:

que resulta:

Logo

L = (20,0 ± 2,1) cm

 

b. Subtração de valores experimentais

 

Seguindo o mesmo esquema do exemplo anterior, a incerteza associada à subtração de duas grandezas experimentais é dada por:

Segmento02-subtração

Novamente, usando a equação (2.3):

resulta:

Logo

L = (4,0 ± 2,8) cm

Note que na soma, tanto a grandeza como a incerteza aumentaram, mas na diferença de duas grandezas experimentais, apesar do resultado ser menor em módulo, a incerteza final é maior que a das partes.

 

c. Multiplicação de grandezas

 

Vamos agora determinar o volume do cilindro na figura abaixo em que se mediram o raio e a altura.

Volume do cilindro


Propagaremos as incertezas em todos os termos do produto: , R e L.

Calculando cada um dos termos acima usando os valores fornecidso na figura:

(i)
(ii)

e

(iii)

Somando i, ii e iii em quadratura:

MUITO IMPORTANTE:

Na equação acima, de propagação de incertezas na multiplicação e divisão, obtivemos a incerteza relativa . NÃO ESQUEÇA DE MULTIPLICÁ-LA PELO RESULTADO (V) PARA OBTER A INCERTEZA ABSOLUTA. Multiplicando V por V e ajustando o número de significativos...

O resultado do volume do cilindor vale:

V = (126 ± 63) cm3

ou ainda

V = (13 ± 6) x 10 cm3

Os resultados acima são mais gerais do que parece à primeira vista. Para as quatro operações podem ser resumidos como segue:

Na soma ou subtração, a incerteza absoluta do resultado é a soma em quadraturadas incertezas absolutas.
Na multiplicação ou divisão, a incerteza relativa do resultado é dada pela soma em quadratura das incertezas relativas dos operandos (não esqueça de converter a incerteza relativa em absoluta).

A seguir estão resumidos os principais casos de propagação de incertezas. Uma importante regra prática pode ser obtida se notarmos que o resultado de propagação de incertezas não precisa ser feito com precisão numérica maior que cerca de 5%. Logo:

Qualquer termo menor que 1/3 do maior termo na soma em quadratura pouco contribui no resultado final e em geral, pode ser desprezado.

Exemplificando:


Volte para o exemplo :

 

a. Adição de valores experimentais

 


 

Lá calculamos o resultado de:

observe que 0,52 << 22, ou seja, se desprezarmos o termo menor, o resultado seria 4,00, que arredondado para um significativo resultaria sL= 2 cm, não muito diferente do resultado anterior, 2,1 cm.

Algebricamente: sejam x1 e x2 os termos de uma soma em quadratura com x2 = k x1. A soma em quadratura resulta:

Seja agora

em que se desprezou x1 uma vez que k>1. Note que S > S', uma vez que x2> x1. Queremos saber, o menor valor de k de forma que S' e S não difiram em mais que 5%. Queremos que

Com alguma manipulação algébrica se obtém

Isto pode simplificar muito as contas pois, numa soma em quadratura, podemos simplesmente desprezar termos menores que 1/3 do maior. Isto permite, na maioria das vezes, um cálculo rápido, sem o uso de calculadora. Atente que são os termos da soma em quadratura que devem ser comparados, não as incertezas.


 

 

© 2007 - Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada. Todos os direitos reservados