Efisica

Desvio Padrão

 


Um processo de medida tem sempre por objetivo determinar o valor médio verdadeiro, ymv , de uma grandeza, cujo valor verdadeiro é yv. Acontece que, em geral, o valor verdadeiro nos é desconhecido, e para se obter o valor médio verdadeiro, são necessárias infinitas medidas!

Dessa forma, para um conjunto de medidas, {y1, y2, y3, ...yn}, o valor médio verdadeiro é dado por:

Como em geral ymv é um valor inacessível, usam-se estimativas: a média dada pela equação

,

a estimativa do desvio padrão

e do desvio padrão da média

.

Apenas relembrando alguns termos novos que usaremos com frequência:

MENSURANDO: Grandeza a ser determinada num processo de medição.

VALOR VERDADEIRO: Valor consistente com a definição de uma determinada quantidade. Em princípio, apenas obtido num processo de medida perfeito.

INCERTEZA: Parâmetro associado ao resultado de uma medida que caracteriza a dispersão dos valores que podem satisfatoriamente ser atribuidos ao mensurando. Reflete o desconhecimento do valor exato do mensurando.

ERRO: É a diferença entre a medida e o valor verdadeiro. Quanto menor o erro maior a exatidão (acurácia).

ERRO SISTEMÁTICO: Erro constante característico do processo ou instrumento.

ERRO PADRÃO: Desvio padrão dos valores médios em relação ao valor verdadeiro.

A grande diferença entre a incerteza e o erro (seja ele qual for) é que o erro pode, em princípio, ser ‘corrigido’ enquanto a incerteza é um intervalo de confiança das medidas. Logo, caso sua experiência tenha um erro, existe uma falha no procedimento que pode e deve ser corrigido.


Exemplos

 

Medida da tensão de uma pilha.

Neste exemplo, pretendemos determinar o valor mais provável e a respectiva incerteza da tensão de uma pilha. Usaremos um voltímetro cuja incerteza nominal (fornecida pelo fabricante) é de 1 = 0,25% do valor indicado.
Voltímetro
A incerteza do processo de medida deve, portanto, ser combinada com a incerteza do fabricante, para gerar o resultado procurado. Algumas fórmulas utilizadas serão explicadas adiante. Retorne ao exemplo assim que terminar a leitura deste capítulo. As medidas realizadas estão na tabela a seguir.

n
U (volt)
incerteza nominal (V)
1
1,572
0,004
2
1,568
0,004
3
1,586
0,004
4
1,573
0,004
5
1,578
0,004
6
1,581
0,004

Tabela 1 - Tensão de uma pilha medida com voltímetro (incerteza nominal 0,25%)

Antes, um comentário: a tabela 1 acima tem três colunas. A última contém a incerteza nominal das medidas que, como vemos, não varia ao longo das medidas. A tabela poderia ter apenas 2 colunas e a incerteza das medidas ser incorporada no título da coluna 2. A nova tabela ficaria como no exemplo abaixo:

n
U ± 0,004 (V)
1
1,572
2
1,568
3
1,586
4
1,573
5
1,578
6
1,581

Tabela 2 - Tensão de uma pilha medida com voltímetro (incerteza nominal 0,25%)

Vamos aos cálculos. Note que em cálculos intermediários usamos um dígito significativo a mais, para apenas no final expressarmos o valor da medição conforme as normas discutidas no capítulo anterior.

Valor médio:

V

Desvio padrão das medidas:

Desvio padrão do valor médio:

Incerteza nominal do voltímetro (0,25% da medida):

V

Verifique que o desvio padrão das medidas (na realidade do processo de medição) é maior que a incerteza nominal do voltímetro. Isso era esperado, pois, na composição da incerteza do processo de medidas, a incerteza do voltímetro é apenas um dos componentes. Uma única medida, por exemplo, a primeira medida na Tabela 2, pode ser expressa como:

A incerteza de nossa medida difere da incerteza nominal citada na tabela 1. Tivemos que fazer uma série de medidas para determinar o NOSSO desvio padrão.

Uma vez que realizamos uma série de 6 medidas, podemos expressar nosso resultado de forma mais precisa, usando o valor médio das seis medidas e seu desvio padrão (o desvio padrão da média). Portanto nosso resultado ficaria assim:

Este resultado está ótimo para desenvolver nossos estudos e verificar alguma dependência da tensão da pilha com outras grandezas. Mas o nosso voltímetro pode ter um erro de calibração. Explicando: Na fábrica são produzidos milhares de voltímetros. Em média todos iguais. Mas no varejo, ao comparar os valores medidos por diferentes voltímetros, um indica um valor um pouco maior, outro um pouco menor... Como então comparar medidas feitas com voltímetros diferentes? Temos que retornar ao manual do aparelho e procurar a incerteza de calibração do mesmo, ou seja, o desvio padrão de calibração dos voltímetros. Em geral (mas não necessariamente) a incerteza do instrumento e o desvio padrão de calibração são semelhantes. Seria um desperdício se assim não fosse.

Voltímetro analógico
(Quem compraria um aparelho muito preciso e caro mal calibrado? Por que calibrar cuidadosamente um aparelho vagabundo?). Podemos supor então que o desvio padrão de calibração do voltímetro é da mesma ordem que sua incerteza nominal.
Voltímetro digital

Dessa forma é possível que instrumentos diferentes indiquem valores diferentes para uma mesma medida, nesse nosso caso, com um desvio padrão de 0,004V. Caso tenhamos em nosso laboratório mais que um voltímetro do mesmo modelo, temos que incorporar esse “desvio padrão de calibração” em nosso resultado. Isso pode ser feito por meio de uma soma quadrática, denominada de erro padrão, em que se compõe quadraticamente o desvio padrão da média com o desvio padrão de calibração do instrumento:

Erro padrão:

 

Finalizando, o valor mais provável da tensão da pilha pode ser representado por:

Afinal, qual o valor que devemos usar? Depende. Para comparar séries de medidas no mesmo instrumento, podemos usar a média e o desvio padrão da média.

Para comparar medidas entre si, basta o desvio padrão.

Para comparar medidas em instrumentos diferentes, precisamos do erro padrão.


 

 

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