Efisica

Variação proporcional vs. proporção


Estamos muito habituados a "fazer regra de três" em situações do cotidiano. Calculamos muito rapidamente que, se a dúzia de bananas custa R$2,40, uma dúzia e meia custará R$3,60. Dizemos que o preço da penca é proporcional ao número de bananas. Existem muitas outras situações onde há proporcionalidade entre grandezas, por exemplo, um mol de moléculas contém 6x1023 moléculas.

Uma grandeza física que é uma proporção entre duas outras grandezas é a densidade dos corpos homogêneos - a densidade é a razão entre a massa e o volume do corpo. Dizer que o corpo é homogêneo significa dizer que as propriedades de qualquer fragmento são as mesmas do corpo todo.

Para fixar idéias nesta discussão, imagine uma usina de Alumínio. A densidade do Al é 2,7 g/cm3 = 2,7x103 kg/m3 . A fábrica produz, a partir de um grande corpo de Alumínio que podemos considerar puro nesta discussão, perfis, panelas e papel de Alumínio. Dizer que o grande corpo de Al é homogêneo, em relação à densidade, significa dizer que a proporção entre massa e volume é a mesma para qualquer pedaço desse corpo. Assim, tanto para um pedaço de papel de Alumínio quanto para um caco da panela ou um fragmento de um trilho de cortina, a razão entre massa e volume é r=2,7x103 kg/m3. Podemos, portanto, sempre deduzir o volume V de um objeto de Al como V=m/r. Quando o objeto tem Volume conhecido, podemos deduzir sua massa m como m=Vr.

O gráfico da figura abaixo representa essa propriedade do Alumínio metálico puro nas condições ambientes normais.

Gráfico - massa de Al versus volume

Note a propriedade, absolutamente importante, do gráfico da massa de Alumínio em função do volume passar pela origem do sistema de coordenadas, identificada pelo ponto O.

Quando lidamos com a velocidade de um objeto, tendemos a pensar que ela representa uma proporção. Afinal, dizer que um automóvel está correndo a 10 m/s significa que ele corre 10 m em 1 s. No entanto, a velocidade não é uma proporção entre a posição e o tempo. Veja, na figuras abaixo, diferentes possíveis gráficos da posição em função do tempo de um automóvel com velocidade v=10m/s.

Caso você, equivocadamente, imaginasse a velocidade como uma proporção entre posição e tempo, deduziria que a posição do automóvel em t=6,0s é x=60m. Vemos no gráfico acima que, exceto na situação descrita pela linha tracejada, a posição do automóvel em t=6,0s NÃO é x=60m.

x versus t

Se a velocidade não é uma proporção, o que ela é? Resposta: é uma variação proporcional. Ela representa o deslocamento - uma variação de posição - num intervalo de tempo. Assim, a velocidade não é a proporção entre a posição e o tempo, mas sim a proporção entre variação de posição e "variação" de tempo. Quando um corpo mecânico desloca-se à velocidade constante, sua variação de posição é proporcional ao intervalo de tempo considerado, portanto, é uma variação proporcional.

Para pensar...

Nas situações mais simples onde há apenas um objeto em movimento uniforme, você pode escolher a origem do sistema de coordenadas de maneira que em t=0s ele esteja na origem. No entanto, isso não pode ser feito em geral, de maneira que NUNCA devemos pensar na velocidade como uma proporção entre posição e tempo, mesmo que isso dê certo em alguma situação muito particular.
Uma variação proporcional pode, com freqüência, ser expressa por números negativos, o que raramente faz sentido com proporções. Nas figuras abaixo mostramos alguns possíveis gráficos de posição em função do tempo para um objeto à velocidade de -5 m/s. A diferença entre as duas figuras é devida apenas ao intervalo de tempo considerado em cada um dos movimentos.

graficos x versus t

Descreva uma situação física de Movimento Uniforme onde você defina tempos negativos. Veja que basta escolher uma origem para a coordenada tempo posterior ao instante em que você começa a descrever a situação.


 

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