Efisica

Geometria do espaço

 


A geometria do espaço tem como fundamento básico o conceito de distância.

Admitimos que o espaço é euclidiano, isto é, nesse espaço são válidos os teoremas da geometria euclidiana. Isto quer dizer que o comprimento de um intervalo é dado por .

Dizer que nesse espaço valem os princípios da geometria euclidiana significa valer regras tais como:

a) A soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180°.

b) Para um triângulo retângulo vale o famoso teorema de Pitágoras

a2 = b2 + c2

onde a é a hipotenusa e b e c são os demais lados do triângulo.

curvaturas do espaço
A aplicabilidade da geometria euclidiana está intimamente ligada a uma propriedade do espaço conhecida como curvatura.

Se a curvatura do espaço for nula, sua geometria é euclidiana. Se a curvatura do espaço for diferente de zero, o espaço é dito curvo. Nesse caso, a geometria será dita riemanniana.

Espaço-tempo curvo na Relatividade Geral

Para distinguirmos uma geometria da outra, consideremos o caso de uma superfície plana e uma superfície esférica. No caso do plano, se tomarmos um ponto A e consideramos perpendiculares por esse ponto até dois pontos B e C, verificaremos que, para as distâncias a, b e c, vale o teorema de Pitágoras

a2 = b2 + c2

ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados adjacentes.

superficie plana

 

Consideremos agora três pontos A, B, C sobre uma superfície esférica. Seja um caso em que A e B estão sobre a linha do Equador e C está sobre o Polo Norte. O caminho mais curto que liga o ponto C sobre o Polo Norte até um ponto sobre o Equador é, como sabemos, a linha de longitude, a qual forma um ângulo reto com a linha do Equador. Temos, pois, aqui um triângulo retângulo tal que a = b.

Vemos pois que, sobre a esfera,

b2 + c2 > a2

 

superficie esferica

Não vale, portanto, o teorema de Pitágoras. Ademais, as somas dos ângulos é maior que 180º.
As medidas de distância de objetos localizados no espaço nos levarão, em geral, a decidir se o espaço é curvo ou não. Nas medidas no cotidiano, e dentro das precisões das medidas existentes, verificamos que a geometria do espaço é euclidiana.

Einstein observou, no entanto, que a presença de massa afeta a curvatura do espaço, isto significando que, rigorosamente, a geometria euclidiana é válida apenas como uma aproximação, aproximação essa muito boa para os fenômenos do cotidiano que ocorrem na superfície terrestre.

Em regiões onde o campo gravitacional é muito intenso (como nas proximidades de um buraco negro), a curvatura do espaço deverá se manifestar e, consequentemente, produzir efeitos físicos.

Buraco negro

 

 

© 2007 - Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada. Todos os direitos reservados