Efisica

Vetores e Tensores

A física lida com uma gama muito grande de grandezas fisicas. É importante classificar essas grandezas fisicas em categorias, ou tipos. A forma que os fisicos usam para essa classificaçao tem a ver com as propriedades de transformação das grandezas fisicas (ou suas componentes) sob uma rotação. Lidamos com tres tipos de grandezas fisicas:

Grandezas Escalares

As grandezas escalares são aquelas invariantes sob uma rotação. Isto é o seu valor não muda quando fazemos uma rotaçao do sistema. Por exemplo, a distancia entre dois pontos é uma grandeza fisica invariante sob rotações. Logo, a distancia entre dois pontos é uma grandeza escalar

Grandezas Vetoriais

Algumas grandezas fisicas requerem mais do que um atributo (como é o caso das grandezas escalares) para sua completa especificação. Grandezas vetoriais requerem tres atributos: Modulo, Direção e Sentido.

Veremos que as grandezas vetorias requerem tres atributos, os quais designaremos por coodenadas.

Grandezas Tensoriais

Uma grandeza tensorial é uma mera generalização de uma grandeza escalar. Isto será entendido quando analisarmos rotações. De modo geral um tensor é caracterizado por um posto. O posto de um tensor é um número inteiro positivo ou zero. Um tensor de posto zero é um escalar. Ou grandeza escalar. Um tensor de posto 1 é um vetor.

Rotações

Uma vez definida a matriz de rotação R(\theta,\phi,\psi) podemos definir vetores, de uma maneira geral, e tensores.

Um vetor é um ente físico definido por três quantidades v1, v2, v3 de tal forma que sob uma rotação ele se transforma da mesma forma que as coordenadas. Isto é,

onde

ou seja, cada coordenada se transforma como

.

Podemos definir agora um tensor como um objeto de 9 componentes, T11...T33, de tal forma que sob uma rotação ele se transforma

onde

.

Mais geralmente, definimos um tensor de posto S como um objeto 3Sde componente tal que essas componentes se transformam como

.

Podemos escrever essa transformação sob a forma

.

Transformações como essa são denominadas transformações de semelhança.
Um tensor é dito simétrico se

Tij = Tji

e anti-simétrico se

Tij = - Tji .

O traço de um tensor é dado pela soma dos elementos da diagonal da matriz 3 x 3. Isto é

.

O determinante de T é o determinante da matriz, isto é

.

 

Mecânica (Avançado)

Seção 3 : Vetores e Tensores

  1. Vetores e Tensores
  2. Rotações
  3. Diagonalização de um tensor simétrico

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Modificado: 2007-12-07

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