Diagonalização de um tensor simétrico
Um tensor de 9 componentes tem a forma geral:
Pode-se escolher, mediante uma rotação, um sistema de eixos tais que, nesses novos eixos, a matriz T simétrica tem a forma diagonal. Isto é,
Os valores T'11, T'22 e T'33 são denominados autovalores de ou ainda valores característicos de T.
Esses novos eixos são ortogonais entre si, isto é
são tais que
uma vez que
Estes novos eixos são conhecidos como eixos principais.
Essa equação é conhecida como equação de autovalores e ela se escreve
Em termos das componentes podemos escrever
Teremos soluções diferentes da trivial (v1 = v2 = v3=0) sob e somente se o determinante associado a essa linear homogênea for nulo, isto é:
A equação acima exibe três soluções independentes (pode haver casos de soluções degeneradas as quais serão tratadas posteriormente). Estas raízes T'1, T'2 e T'3 são os autovalores procurados. Isto é, são os valores de T na forma diagonal.
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