Efisica

Diagonalização de um tensor simétrico

 


Um tensor de 9 componentes tem a forma geral:

.

Pode-se escolher, mediante uma rotação, um sistema de eixos tais que, nesses novos eixos, a matriz T simétrica tem a forma diagonal. Isto é,

.

Os valores T'11, T'22 e T'33 são denominados autovalores de ou ainda valores característicos de T.
Os novos eixos x, y e z são tais

.

Esses novos eixos são ortogonais entre si, isto é

são tais que

uma vez que

.

Estes novos eixos são conhecidos como eixos principais.
Qualquer vetor paralelo aos eixos principais é um autovetor de T e para ele vale

.

Essa equação é conhecida como equação de autovalores e ela se escreve

.

Em termos das componentes podemos escrever

.

Teremos soluções diferentes da trivial (v1 = v2 = v3=0) sob e somente se o determinante associado a essa linear homogênea for nulo, isto é:

.

A equação acima exibe três soluções independentes (pode haver casos de soluções degeneradas as quais serão tratadas posteriormente). Estas raízes T'1, T'2 e T'3 são os autovalores procurados. Isto é, são os valores de T na forma diagonal.
Para cada valor de T'(T'1, T'2 e T'3) obteremos os vetores , e . Os vetores , e são dados por

.



 

Mecânica (Avançado)

Seção 3 : Vetores e Tensores

  1. Vetores e Tensores
  2. Rotações
  3. Diagonalização de um tensor simétrico

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Modificado: 2007-12-07

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