1. O comprimento de uma curva interligando dois pontos

O comprimento de uma curva ligando dois pontos A e B pode ser pensado como um funcional
(FIGURA)

Note-se que nesse caso

Para cada curva parametrizada por

obteremos um valor diferente em função da curva escolhida.

2. O caminho óptico

No caso da propagação de um raio luminoso através de um meio cujo índice de refração é variável

definimos o livre caminho óptico para cada possível trajetória da luz naquele meio como o funcional
(FIGURA)

onde dS é o elemento de comprimento da curva associada ao trajeto do raio luminoso

Observe-se que dado obteremos um valor diferente para o caminho óptico para as diferentes trajetórias do raio luminoso.