Efisica

Coordenadas Generalizadas

As coordenadas generalizadas q_1,q_2,q_3 podem ser definidas através das funções

\begin{gathered} Q_1 = Q_1 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\ Q_2 = Q_2 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\ Q_3 = Q_3 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\ \end{gathered} (1)

A condição :

Q_i(x,y,z) = Q_{i0} = \text{constante} (2)

correponde ao lugar geométrico dos pontos do espaço pertencentes a uma superfície.


Temos para o conjunto de duas condições simultâneas:

\begin{gathered} Q_1\left( {x,y,z} \right) = Q_{10} \hfill \\ Q_2 \left( {x,y,z} \right) = Q_{20} \hfill \\ \end{gathered} (3)

Que tais equações envolvendo a intersecção de duas superfícies descrevem uma curva no espaço.



A condição

\begin{gathered} Q_1 \left( {x,y,z} \right) = Q_{10} \hfill \\ Q_2 \left( {x,y,z} \right) = Q_{20} \hfill \\ Q_3 \left( {x,y,z} \right) = Q_{30} \hfill \\ \end{gathered}

(4)

descreve a localização de um ponto no espaço, em coordenadas generalizada, pois está associada ao ponto de encontro de uma curva com uma superfície.


Para cada conjunto de coordenadas generalizadas, podemos introduzir dois vetores de base. Esses dois conjuntos serão definidos através das seguintes expressões:

\begin{gathered} \vec b_1 \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla Q_1 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\ \vec b_2 \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla Q_2 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\ \ \vec b_3 \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla Q_3 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\ \end{gathered}

e

\begin{gathered} \hfill \\ \vec b^ * _1 \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial x}} {{\partial Q_1 }}\vec i + \frac{{\partial y}} {{\partial Q_1 }}\vec j + \frac{{\partial z}} {{\partial Q_1 }}\vec k = \frac{{\partial \vec r}} {{\partial Q_1 }} \hfill \\ \vec b^ * _2 \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial x}} {{\partial Q_2 }}\vec i + \frac{{\partial y}} {{\partial Q_2 }}\vec j + \frac{{\partial z}} {{\partial Q_2 }}\vec k = \frac{{\partial \vec r}} {{\partial Q_2 }} \hfill \\ \vec b^ * _3 \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial x}} {{\partial Q_3 }}\vec i + \frac{{\partial y}} {{\partial Q_3 }}\vec j + \frac{{\partial z}} {{\partial Q_3 }}\vec k = \frac{{\partial \vec r}} {{\partial Q_3 }} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} (5)

O primeiro conjunto de vetores são ortogonais ás superfícies definidas em (2). O segundo conjunto de vetores são paralelos ás linhas definidas em (3).

 

Ademais, eles formam dois conjuntos de vetores ortogonais entre si, isto é:


\vec b_i  \cdot \vec b^ *  _j  = \delta _{ij}  (6)


Um vetor qualquer pode tanto ser expresso em termos dos vetores de uma base

\vec V = \sum\limits_{i = 1}^3 {V_i } \vec b_i   (7)

Quanto em termos dos vetores da base dual

\vec V = \sum\limits_{i = 1}^3 {V^i } \vec b^ *  _i   (8)


As componentes, covariante () e contravariante (), são obtidas a partir das projeções:

V_i  \equiv \vec V \cdot \vec b_i ^ *   (9)

e

V^i  \equiv \vec V \cdot \vec b_i  (10)

Podemos introduzir dois tipos de métrica para um espaço Euclidiano. De fato, de (9) e (10) segue que o módulo de um vetor pode ser escrito de duas forma:

\vec V \cdot \vec V = \sum\limits_{}^{} {V_i V_j } g^{ij}

Ou,

\vec V \cdot \vec V = \sum\limits_{i,j = 1}^3 {V^i V^j } g_{ij}

As métricas g são dadas pelos produtos escalares:

g^{ij}  \equiv \vec b_i  \cdot \vec b_j

g_{ij}  \equiv \vec b^ *  _i  \cdot \vec b^ *  _j

Note-se que os vetores \vec b_i  e \vec b_i ^ *  não são, necessariamente versores. Podemos construir dois tipos de versores dividindo cada vetor pelo seu módulo.

Os vetores  \vec b_i  são ortogonais ás superfícies definidas em (4), enquanto os vetores \vec b_i ^ * são tangentes ás linhas resultantes da intersecção de dois dos planos definidos em (4).

Lembrando que o vetor deslocamento infinitesimal pode ser escrito como

d\vec r = \sum\limits_{i = 1}^3 {dQ_i } \vec b_i ^ * 

Pode-se constatar que o elemento de comprimento infinitesimal ds é dado por

ds^2  = d\vec r \cdot d\vec r = \sum\limits_{i,j = 1}^3 {dQ_i dQ_j g_{ij} }

O que nos permite identificar g com o tensor métrico

Mecânica (Avançado)

Seção 1 : Coordenadas Generalizadas

  1. Coordenadas Generalizadas
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Modificado: 2009-02-17

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