Efisica

Coordenadas Esféricas

Coordenadas Esféricas

Definimos as coodenadas esféricas a partir das expressões:


	\begin{gathered}   x = rsen\theta \cos \varphi  \hfill \\   y = rsen\theta sen\varphi  \hfill \\   z = r\cos \theta  \hfill \\ \end{gathered}

Invertendo as relações acima, obtemos


	r = \srt{x^2 + y^2 + z^2}


	\phi = \atan{\frac{y}{x}}


	\theta = \atan{\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}}

A superficie

r = R (constante)

Ou, equivalentemente,


	\srt{x^2 + y^2 + z^2} = R

corresponde a uma esfera de raio R.

A superfície descrita por


	\phi = \phi_{0}

Ou, equivalentemente,


	y = \tan \phi_0

descreve um semiplano.



Enquanto que a equação


	\theta = \theta_0


	\srqt{x^2 + y^2} = z tan \theta_0

descreve um cone de ângulo \theta_0.




Os vetores \vec b^ *  _i \left( {x,y,z} \right)  são dados por:


\begin{gathered} \vec b_r \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla r\left( {x,y,z} \right) = sen\theta \cos \varphi \vec i + sen\theta sen\varphi \vec j + \cos \theta \vec k \hfill \\ \vec b_\theta \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla \theta \left( {x,y,z} \right) = \frac{1} {r}\left( {\cos \theta \cos \varphi \vec i + \cos \theta sen\varphi \vec j - sen\theta \vec k} \right) \hfill \\ \vec b_\varphi \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla \varphi \left( {x,y,z} \right) = \frac{1} {{rsen^2 \theta }}\left( { - sen\theta sen\varphi \vec i + sen\theta \cos \varphi \vec j} \right) \hfill \\ e \hfill \\ \vec b^ * _r \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial \vec r}} {{\partial r}} = sen\theta \cos \varphi \vec i + sen\theta sen\varphi \vec j + \cos \theta \vec k \hfill \\ \vec b^ * _\theta \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial \vec r}} {{\partial \theta }} = r\cos \theta \cos \varphi \vec i + r\cos \theta sen\varphi \vec j - rsen\theta \vec k \hfill \\ \vec b^ * _\varphi \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial \vec r}} {{\partial \varphi }} = - rsen\theta sen\varphi \vec i + rsen\theta \cos \varphi \vec j \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered}

Para as métricas, temos


	g_{ij}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}    1 & 0 & 0  \\    0 & {r^2 } & 0  \\    0 & 0 & {r^2 sen^2 \theta }  \\ \end{array} } \right)


	g^{ij}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}    1 & 0 & 0  \\    0 & {r^{ - 2} } & 0  \\    0 & 0 & {r^{ - 2} sen^{ - 2} \theta }  \\  \end{array} } \right)

Mecânica (Avançado)

Seção 1 : Coordenadas Generalizadas

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Modificado: 2009-02-17

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