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vetores de base

Para cada conjunto de coordenadas generalizadas, podemos introduzir dois vetores de base. Esses dois conjuntos serão definidos através das seguintes expressões:

\begin{gathered} \vec b_1 \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla Q_1 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\ \vec b_2 \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla Q_2 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\ \vec b_3 \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla Q_3 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\ e \hfill \\ \vec b^ * _1 \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial x}} {{\partial Q_1 }}\vec i + \frac{{\partial y}} {{\partial Q_1 }}\vec j + \frac{{\partial z}} {{\partial Q_1 }}\vec k = \frac{{\partial \vec r}} {{\partial Q_1 }} \hfill \\ \vec b^ * _2 \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial x}} {{\partial Q_2 }}\vec i + \frac{{\partial y}} {{\partial Q_2 }}\vec j + \frac{{\partial z}} {{\partial Q_2 }}\vec k = \frac{{\partial \vec r}} {{\partial Q_2 }} \hfill \\ \vec b^ * _3 \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial x}} {{\partial Q_3 }}\vec i + \frac{{\partial y}} {{\partial Q_3 }}\vec j + \frac{{\partial z}} {{\partial Q_3 }}\vec k = \frac{{\partial \vec r}} {{\partial Q_3 }} \hfill \\ \end{gathered}

 

 

O primeiro conjunto de vetores são ortogonais ás superfícies definidas em (2). O segundo conjunto de vetores são paralelos ás linhas definidas em (3). Ademais, eles formam dois conjuntos de vetores ortogonais entre si, isto é:

\vec b_i \cdot \vec b^ * _j = \delta _{ij}

Um vetor qualquer pode tanto ser expresso em termos dos vetores de uma base

\vec V = \sum\limits_{i = 1}^3 {V_i } \vec b_i

Quanto em termos dos vetores da base dual

\vec V = \sum\limits_{i = 1}^3 {V^i } \vec b^ *

As componentes, covariante ( V_i ) e contravariante (V^{^i } ), são obtidas a partir das projeções:

V_i \equiv \vec V \cdot \vec b_i ^ *

e

V^i \equiv \vec V \cdot \vec b_i

 

\vec V \cdot \vec V = \sum\limits_{}^{} {V_i V_j } g^{ij}

ou

\vec V \cdot \vec V = \sum\limits_{i,j = 1}^3 {V^i V^j } g_{ij}

 

As métricas g são dadas pelos produtos escalares

g^{ij} \equiv \vec b_i \cdot \vec b_j

g_{ij} \equiv \vec b^ * _i \cdot \vec b^ * _j

 

Note-se que o vetores \vec b_i e \vec b_i ^ * não são, necessariamente versores. Podemos construir dois tipos de versores dividindo cada vetor pelo seu módulo.

 

Os vetores \vec b_i são ortogonais ás superfícies definidas em (4), enquanto os vetores \vec b_i ^ * são tangentes ás linhas resutantes da intersecção de dois dos planos definidos em (4).

 

 

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