Efisica

vetores de base

Para cada conjunto de coordenadas generalizadas, podemos introduzir dois vetores de base. Esses dois conjuntos serão definidos através das seguintes expressões:


	\begin{gathered}
	\vec b_1 \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla Q_1 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\
	\vec b_2 \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla Q_2 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\
	\vec b_3 \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla Q_3 \left( {x,y,z} \right) \hfill \\
	e \hfill \\
	\vec b^ *  _1 \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial x}}
	{{\partial Q_1 }}\vec i + \frac{{\partial y}}
	{{\partial Q_1 }}\vec j + \frac{{\partial z}}
	{{\partial Q_1 }}\vec k = \frac{{\partial \vec r}}
	{{\partial Q_1 }} \hfill \\
	\vec b^ *  _2 \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial x}}
	{{\partial Q_2 }}\vec i + \frac{{\partial y}}
	{{\partial Q_2 }}\vec j + \frac{{\partial z}}
	{{\partial Q_2 }}\vec k = \frac{{\partial \vec r}}
	{{\partial Q_2 }} \hfill \\
	\vec b^ *  _3 \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial x}}
	{{\partial Q_3 }}\vec i + \frac{{\partial y}}
	{{\partial Q_3 }}\vec j + \frac{{\partial z}}
	{{\partial Q_3 }}\vec k = \frac{{\partial \vec r}}
	{{\partial Q_3 }} \hfill \\
	\end{gathered}

 

 

O primeiro conjunto de vetores são ortogonais ás superfícies definidas em (2). O segundo conjunto de vetores são paralelos ás linhas definidas em (3). Ademais, eles formam dois conjuntos de vetores ortogonais entre si, isto é:

\vec b_i  \cdot \vec b^ *  _j  = \delta _{ij}

Um vetor qualquer pode tanto ser expresso em termos dos vetores de uma base


	\vec V = \sum\limits_{i = 1}^3 {V_i } \vec b_i

Quanto em termos dos vetores da base dual


	\vec V = \sum\limits_{i = 1}^3 {V^i } \vec b^ *

As componentes, covariante ( V_i ) e contravariante (V^{^i } ), são obtidas a partir das projeções:


	V_i  \equiv \vec V \cdot \vec b_i ^ *

e


	V^i  \equiv \vec V \cdot \vec b_i

 


	\vec V \cdot \vec V = \sum\limits_{}^{} {V_i V_j } g^{ij}

ou


	\vec V \cdot \vec V = \sum\limits_{i,j = 1}^3 {V^i V^j } g_{ij}

 

As métricas g são dadas pelos produtos escalares


	g^{ij}  \equiv \vec b_i  \cdot \vec b_j


	g_{ij}  \equiv \vec b^ *  _i  \cdot \vec b^ *  _j

 

Note-se que o vetores  \vec b_i e \vec b_i ^ * não são, necessariamente versores. Podemos construir dois tipos de versores dividindo cada vetor pelo seu módulo.

 

Os vetores \vec b_i são ortogonais ás superfícies definidas em (4), enquanto os vetores \vec b_i ^ * são tangentes ás linhas resutantes da intersecção de dois dos planos definidos em (4).

 

 

© 2007 - Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada. Todos os direitos reservados