Efisica

coordenadas esféricas


	\begin{gathered}
	x = rsen\theta \cos \varphi  \hfill \\
	y = rsen\theta sen\varphi  \hfill \\
	z = r\cos \theta  \hfill \\ 
	\end{gathered}

Definimos as coodenadas esféricas a partir das expressões

Invertendo as relações acima, obtemos

A superficie

r = R (constante)

Ou, equivalentemente,

corresponde a uma esfera de raio R.

A superfície descrita por

Ou, equivalentemente,

descreve um semiplano. Enquanto que a equação

descreve um cone de ângulo .

Os vetores \vec b^ *  _i \left( {x,y,z} \right)
são dados por


	\begin{gathered}
	\vec b_r \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla r\left( {x,y,z} \right) = sen\theta \cos \varphi \vec i + sen\theta sen\varphi \vec j + \cos \theta \vec k \hfill \\
	\vec b_\theta  \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla \theta \left( {x,y,z} \right) = \frac{1}
	{r}\left( {\cos \theta \cos \varphi \vec i + \cos \theta sen\varphi \vec j - sen\theta \vec k} \right) \hfill \\
	\vec b_\varphi  \left( {x,y,z} \right) = \vec \nabla \varphi \left( {x,y,z} \right) = \frac{1}
	{{rsen^2 \theta }}\left( { - sen\theta sen\varphi \vec i + sen\theta \cos \varphi \vec j} \right) \hfill \\
	e \hfill \\
	\vec b^ *  _r \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial \vec r}}
	{{\partial r}} = sen\theta \cos \varphi \vec i + sen\theta sen\varphi \vec j + \cos \theta \vec k \hfill \\
	\vec b^ *  _\theta  \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial \vec r}}
	{{\partial \theta }} = r\cos \theta \cos \varphi \vec i + r\cos \theta sen\varphi \vec j - rsen\theta \vec k \hfill \\
	\vec b^ *  _\varphi  \left( {x,y,z} \right) = \frac{{\partial \vec r}}
	{{\partial \varphi }} =  - rsen\theta sen\varphi \vec i + rsen\theta \cos \varphi \vec j \hfill \\
	\hfill \\ 
	\end{gathered}

Para as métricas, temos

 


	g^{ij}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
	1 & 0 & 0  \\
	0 & {r^{ - 2} } & 0  \\
	0 & 0 & {r^{ - 2} sen^{ - 2} \theta }  \\
	\end{array} } \right)

A Velocidade em coordenadas esféricas é dada por:


	\vec V = \frac{{dr}}
	{{dt}}\vec b_r ^ *   + \frac{{d\theta }}
	{{dt}}\vec b_\theta  ^ *   + \frac{{d\varphi }}
	{{dt}}\vec b_\varphi  ^ *

Enquanto que para a aceleração se obtem a partir de:


	\vec a = \frac{{d^2 r}}
	{{dt^2 }}\vec b_r ^ *   + \frac{{d\theta ^2 }}
	{{dt^2 }}\vec b_\theta  ^ *   + \frac{{d^2 \varphi }}
	{{dt^2 }}\vec b_\varphi  ^ *   + \frac{{dr}}
	{{dt}}\frac{{d\vec b_r ^ *  }}
	{{dt}} + \frac{{d\theta }}
	{{dt}}\frac{{d\vec b_\theta  ^ *  }}
	{{dt}} + \frac{{d\varphi }}
	{{dt}}\frac{{d\vec b_\varphi  ^ *  }}
	{{dt}}

As componentes da aceleração são portanto:


	a_r  = \frac{{d^2 r}}
	{{dt^2 }}


	a_\theta   = \frac{{d^2 \theta }}
	{{dt^2 }} + \frac{{d\theta }}
	{{dt}}\frac{{dr^2 }}
	{{dt}}


	a_\varphi   = \frac{{d^2 \varphi }}
	{{dt^2 }} + \frac{{d\varphi }}
	{{dt}}\frac{{d\left( {r^2 sen^2 \theta } \right)}}
	{{dt}}

Mecânica (Avançado)

Seção 2 : Cinemática

  1. vetores de base
  2. vetor de velocidade
  3. aceleração
  4. energia cinética
  5. coordenadas esféricas

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Modificado: 2007-06-18

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