Efisica

A equação de ondas

James Clerk Maxwell deu a mais significativa contribuição á ciência do eletromagnetismo. Em 1864 Maxwell sugeriu que se pode encontrar a descrição de todos os fenômenos eletromagnéticos a partir das soluções de um conjunto de 4 equações a derivadas parciais de primeira ordem no tempo e no espaço. Essas equações são hoje conhecidas como as Equações de Maxwell. Elas são equações para os campos elétricos e magnéticos uma vez conhecidas as distribuições das cargas elétricas e das correntes.

Num meio dielétrico livre de cargas e correntes, as equações de Maxwell são:

\begin{gathered}
	\nabla  \cdot \vec D = 0 \hfill \\
	\nabla  \times \vec E =  - \frac{{\partial \vec B}}
	{{\partial t}} \hfill \\
	\nabla  \cdot B \cdot  = 0 \hfill \\
	\nabla  \times \vec H =  - \frac{{\partial \vec D}}
	{{\partial t}} \hfill \\ 
	\end{gathered}

(1.1)

Maxwell foi um pouco mais alem da fenomenologia do eletromagnetismo conhecido áquela época e acrescentou um novo termo a uma das equações, termo esse conhecido como a corrente de deslocamento (o termo no lado direito da última equação). Esse novo termo, a corrente de deslocamento é tal que prevê o surgimento de um campo magnético pelo mero fato do campo elétrico variar com o tempo. Ou seja, um campo elétrico variável tem o mesmo papel que uma corrente elétrica. A análise de Máxwell lhe permitiu concluir que: 

The agreement of the results seems to show that light and magnetism are affections of the same substance, and that light is an electromagnetic disturbance propagated through the field according to electromagnetic laws.

Dessa forma Maxwell percebeu que a descrição dos fenômenos associados à luz podem ser entendidos a partir do eletromagnetismo. Deu-se assim o que denominamos hoje de unificação do eletromagnetismo com a óptica.

Levando-se em conta a existência da corrente de deslocamento veremos a seguir que, utilizando-se de manipulações não muito complexas, as equações de Maxwell no espaço podem ser escritas sob a forma da equação de ondas. Tomamos primeiramente o rotacional das equações (1.1). Obtemos:

 


	\begin{gathered}
	\nabla  \times \left( {\nabla  \times \vec E} \right) =  - \frac{{\partial \left( {\nabla  \times \vec B} \right)}}
	{{\partial t}} \hfill \\
	\nabla  \times \left( {\nabla  \times \vec H} \right) =  - \frac{{\partial \nabla  \times \vec D}}
	{{\partial t}} \hfill \\ 
	\end{gathered}

(1.2)

 

Lembrando a identidade vetorial, válida para qualquer vetor

 


	\nabla  \times \left( {\nabla  \times \vec E} \right) =  - \nabla ^2 \vec E + \nabla \left( {\nabla  \cdot \vec E} \right)

(1.3)

 

E lembrando as relações:


	\begin{gathered}
	\vec B = \mu \vec H \hfill \\
	\vec D = \varepsilon \vec E \hfill \\ 
	\end{gathered}

(1.4)

 

Bem como que os divergentes dos campos são nulos, concluímos que tanto o campo elétrico como o campo magnético satisfazem a equação de ondas, a saber:


	\begin{gathered}
	\nabla ^2 \vec E = \varepsilon \mu \frac{{\partial ^2 \vec E}}
	{{\partial t^2 }} \hfill \\
	\nabla ^2 \vec B = \varepsilon \mu \frac{{\partial ^2 \vec B}}
	{{\partial t^2 }} \hfill \\ 
	\end{gathered}

(1.5)

 

Explicitamente, escrevemos:


	\frac{{\partial ^2 \overrightarrow E (x,y,z,t)}}
	{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 \overrightarrow E (x,y,z,t)}}
	{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 \overrightarrow E (x,y,z,t)}}
	{{\partial z^2 }} = \mu \varepsilon \frac{{\partial ^2 \overrightarrow E (x,y,z,t)}}
	{{\partial t^2 }}


	\frac{{\partial ^2 \overrightarrow H (x,y,z,t)}} {{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 \overrightarrow H (x,y,z,t)}} {{\partial y^2 }} + \frac{{\partial ^2 \overrightarrow H (x,y,z,t)}} {{\partial z^2 }} = \mu \varepsilon \frac{{\partial ^2 \overrightarrow H (x,y,z,t)}} {{\partial t^2 }}

(1.6)

 

e, portanto, os campos elétrico e magnético podem se propagar como ondas no espaço . Os campos são os componentes da onda. A razão para a sua propagação mesmo no vácuo tem a haver com o fenômeno da indução no eletromagnetismo. Um campo elétrico variando com o tempo induz um campo magnético variando com o tempo e esse último ao variar induz um campo elétrico variando com o tempo e assim sucessivamente ,

 

Tais ondas recebem o nome de ondas eletromagnéticas. Sua velocidade de propagação é dada por:

 

v = \sqrt {\mu \varepsilon }

(1.7)

 

Onde \mu e \varepsilon estão associadas a propriedades magnéticas ( \mu ) e elétricas ( \varepsilon ) do meio. São as constantes denominadas de permeabilidade magnética e permitividade elétrica do meio.As ondas eletromagnéticas têm, portanto, uma velocidade de propagação que depende das propriedades eletromagnéticas do meio.

Ondas eletromagnéticas transportam energia e momento os quais são transferidos á matéria quando essas ondas interagem com ela. 

Uma onda eletromagnética harmonica plana é também uma onda monocromática. Isto é uma onda com uma freqüência bem definida. Uma onda eletromagnética monocromática é descrita pelos campos:

 

\vec E\left( {r,t} \right) = \vec E_0 e^{i\left( {\vec k \cdot \vec r - \omega t} \right)}

 

\vec B\left( {r,t} \right) = \vec B_0 e^{i\left( {\vec k \cdot \vec r - \omega t} \right)}

(1.8)

 

Onde \vec E_0 e   \vec B_0 são as amplitudes dos campos elétrico e magnético, respectivamente. Substituindo-se as soluções propostas acima nas equações (1.6) obtemos a relação usual entre o vetor de onda e a freqüência angular:



k^2  = v^2 \omega ^2

(1.9)

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