Efisica

Equações Fundamentais

As equações fundamentais da eletrostática são duas equações de primeira ordem para o campo eletrico:

 

 \vec \nabla \cdot \vec E(\vec r) = \varepsilon _o \rho \left( {\vec r} \right

 


	\nabla  \times E(\vec r) = 0

 

A primeira equação significa que a existência de uma dada densidade de carga dá origem a um campo elétrico. O significado físico da segunda equacão é que a energia mecânica de uma partícula que se mova sob a ação de um campo eletrostático se conserva. De fato, de (mmmm) segue que uma solução para esta equação é:

 

\vec E\left( {\vec r} \right) =  - \vec \nabla V(\vec r)

 

 

Onde V é o função Potencial Eletrostático. Eq. (oooo) implica que o campo elétrico é um campo conservativo, e portanto a energia mecânica é conservada. Substituindo-se a expressão (nnnn) em (mmmm) chegamos a uma equação a derivadas parciais de segunda ordem. Tal equação é a equação de Laplace:

 

\nabla ^2 V(\vec r) =  - \varepsilon _0 \rho \left( {\vec r} \right)

 

 

A solução geral da equação acima é dada pela expressão



	V\left( {\vec r} \right) = \varepsilon _0 \iiint {G\left( {\vec r - \vec r'} \right)}\rho \left( {\vec r'} \right)d^3 r'

 

Onde G na equação acima é a função de Green que satisfaz a equação:


	\nabla ^2 G(\vec r) =  - \delta \left( {\vec r} \right)

 

Cuja solução é:


	\begin{gathered}
	G\left( {\vec r - \vec r'} \right) = \frac{1}
	{{4\pi }}\frac{1}
	{{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}} \hfill \\
	\hfill \\ 
	\end{gathered}

 

Assim, a expressão para o potencial eletrostático mais geral será

 

\begin{gathered}
	V\left( {x,y,z} \right) = \frac{1}
	{{4\pi \varepsilon _0 }}\iiint {\rho \left( {x',y',z'} \right)}\frac{1}
	{{\left( {\left( {x - x'} \right)^2  + \left( {y - y'} \right)^2  + \left( {z - z'} \right)^2 } \right)^{\frac{1}
	{2}} }}dx'dy'dz' \hfill \\
	\hfill \\ 
	\end{gathered}

 

 

Para as distribuições superficial e linear de cargas respectivamente, teremos:


	\begin{gathered}
	V\left( {\vec r} \right) = \frac{1}
	{{4\pi \varepsilon _0 }}\iint {\sigma \left( {\vec r'} \right)}\frac{1}
	{{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}}dS' \hfill \\
	\hfill \\ 
	\end{gathered}

 


	V\left( {\vec r} \right) = \frac{1}
	{{4\pi \varepsilon _0 }}\int {\lambda \left( {r'} \right)} \frac{1}
	{{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}}dl'

Eletricidade e Magnetismo (Universitário)

Seção 1 : Eletrostática

  1. Cargas
  2. Equações Fundamentais
  3. O Campo Eletrostático

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Modificado: 2007-06-15

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