Eletricidade e Magnetismo (Universitário)

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Equações Fundamentais

As equações fundamentais da eletrostática são duas equações de primeira ordem para o campo eletrico:

$\vec \nabla \cdot \vec E(\vec r) = \varepsilon _o \rho \left( {\vec r} \right$

$\nabla \times E(\vec r) = 0$

A primeira equação significa que a existência de uma dada densidade de carga dá origem a um campo elétrico. O significado físico da segunda equacão é que a energia mecânica de uma partícula que se mova sob a ação de um campo eletrostático se conserva. De fato, de (mmmm) segue que uma solução para esta equação é:

$\vec E\left( {\vec r} \right) = - \vec \nabla V(\vec r)$

Onde V é o função Potencial Eletrostático. Eq. (oooo) implica que o campo elétrico é um campo conservativo, e portanto a energia mecânica é conservada. Substituindo-se a expressão (nnnn) em (mmmm) chegamos a uma equação a derivadas parciais de segunda ordem. Tal equação é a equação de Laplace:

$\nabla ^2 V(\vec r) = - \varepsilon _0 \rho \left( {\vec r} \right)$

A solução geral da equação acima é dada pela expressão

$V\left( {\vec r} \right) = \varepsilon _0 \iiint {G\left( {\vec r - \vec r'} \right)}\rho \left( {\vec r'} \right)d^3 r'$

Onde G na equação acima é a função de Green que satisfaz a equação:

$\nabla ^2 G(\vec r) = - \delta \left( {\vec r} \right)$

Cuja solução é:

$\begin{gathered} G\left( {\vec r - \vec r'} \right) = \frac{1} {{4\pi }}\frac{1} {{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered}$

Assim, a expressão para o potencial eletrostático mais geral será

$\begin{gathered} V\left( {x,y,z} \right) = \frac{1} {{4\pi \varepsilon _0 }}\iiint {\rho \left( {x',y',z'} \right)}\frac{1} {{\left( {\left( {x - x'} \right)^2 + \left( {y - y'} \right)^2 + \left( {z - z'} \right)^2 } \right)^{\frac{1} {2}} }}dx'dy'dz' \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered}$

Para as distribuições superficial e linear de cargas respectivamente, teremos:

$\begin{gathered} V\left( {\vec r} \right) = \frac{1} {{4\pi \varepsilon _0 }}\iint {\sigma \left( {\vec r'} \right)}\frac{1} {{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}}dS' \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered}$

$V\left( {\vec r} \right) = \frac{1} {{4\pi \varepsilon _0 }}\int {\lambda \left( {r'} \right)} \frac{1} {{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}}dl'$

Equações Fundamentais

Seção 1 : Eletrostática

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