Efisica

Exemplo de cálculo de capacidade de condensadores


 

a. Condensador esférico

 

É constituído por duas esferas concêntricas, de raios e , separadas por um dielétrico de constante dielétrica . A esfera interna funciona como indutor. Para carregar o condensador ligamos a armadura externa à terra e carregamos a interna com a carga . A externa ficará com carga .

Para calcular a capacidade precisamos calcular antes a diferença de potencial , e depois efetuar o quociente de Q por essa diferença.

O potencial da esfera interna é a soma de dois potenciais: um , produzido pela carga da própria esfera interna e outro, , produzido pela carga da esfera externa. O potencial que a carga produz na esfera interna é:

Condensador esférico

Figura 98

O potencial que a carga produz na superfície da armadura externa é . Mas, vimos no tópico "Observações" do capítulo 3 que o potencial no interior de um condutor é igual ao potencial da sua superfície. Então a carga da armadura externa produz, na armadura interna, o potencial:

Portanto,

ou

Analogamente, o potencial da armadura externa é a soma de dois: um, , produzido pela carga interna, outro, , produzido pela carga externa . O potencial é produzido pela carga num ponto situado à distância do centro da esfera interna. Vale:

http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/capacitor/assoc_condensadores/

Figura 98

 

E o potencial vale:

Logo,

ou

Poderíamos ter previsto que o potencial da armadura externa é nulo porque ela está ligada à terra.

A diferença de potencial entre as armaduras é:

E a capacidade do condensador:

Para que o condensador tenha grande capacidade é necessário que os raios sejam grandes, mas a diferença entre os raios é pequena. Vemos que a capacidade é diretamente proporcional à constante dielétrica do isolante.

 

Observações

 

1a) Vimos que a armadura externa tem potencial nulo. Isso acontece todas as vezes que o induzido está ligado à terra. Baseados nesse fato, muitos autores definem condensador do seguinte modo: condensador é o conjunto de dois condutores separados por isolante, um dos quais com potencial nulo.

2a) Se a esfera A estivesse isolada de outros condutores e circundada por um isolante de constante dielétrica , o seu potencial seria:

Com a presença da esfera B, o potencial de A passa a valer , dado por:

Logo,

Concluímos que a esfera A, carregada com a carga Q em presença do corpo B ligado à terra, adquire um potencial menor que o potencial V que ela adquire quando carregada com a mesma carga Q, mas isolada. A capacidade de A em presença de B é então

e quando isolada é

Sendo , resulta

Concluímos que, com a presença do corpo B a capacidade da esfera A aumenta. Esse fenômeno é chamado condensação da eletricidade. Daí o nome condensador.

Esta 2a observação serve para esclarecer melhor dois parágrafos anteriores: o tópico "Variação do Potencial de um Condutor sob Influência de Outro Corpo Eletrizado", em que estudamos a variação do potencial de um condutor pela influência de outro corpo eletrizado, e o tópico "Capacidade de um Condutor", em que, ao definirmos capacidade de um condutor insistimos no fato de ele precisar estar isolado. Pois, quando ele não está isolado, faz parte de um condensador e a sua capacidade se modifica.

 

b. Condensador plano

 

Antes de deduzirmos a fórmula de capacidade de um condensador plano, resolvamos o seguinte problema. Sejam dois planos paralelos, indefinidos e muito próximos, eletrizados com densidade elétrica e outro com . Qual a diferença de potencial entre eles? (fig. 99). Se os dois planos são próximos, o campo elétrico existente entre eles é uniforme: as linhas de força são retas e paralelas entre si, e perpendiculares aos planos. E o vetor campo elétrico tem o mesmo módulo em todos os pontos da região compreendida entre os planos.



Figura 99

Field ina Para llel-Plate capacitor

O plano positivo produz, num ponto A qualquer, compreendido entre os dois, um campo dirigido do positivo para o negativo, e de módulo . O plano negativo produz, no mesmo ponto A, um campo também dirigido do positivo para o negativo e de módulo . Esses dois campos, tendo mesma direção e mesmo sentido dão um campo resultante ainda de mesma direção e mesmo sentido, e de módulo igual à soma dos módulos:

Para calcularmos a diferença de potencial entre os dois planos, imaginemos agora que uma carga positiva q seja deslocada do plano positivo para o negativo. O trabalho realizado será:

(1)

Mas, esse trabalho também é igual ao produto de força que atua na carga pela distância e entre os planos (que é o deslocamento do ponto de aplicação da força):

Sendo

temos:

(2)

Comparando (1) e (2), temos:

ou

temos, portanto :

 

Aplicação ao condensador plano

 

O condensador plano é constituído por dois planos paralelos de igual área S, separados por uma distância e muito pequena em relação a S. Um deles recebe a carga e funciona como indutor. O outro é ligado à terra e fica com a carga (fig. 100). As densidades elétricas são: , e .



Figura 100

Como a diferença de potencial entre as armaduras é dada por , a capacidade do condensador é:

ou

Essa expressão mostra que para que a capacidade seja grande as armaduras devem ter grande área S e pequeno afastamento e; e que a capacidade é diretamente proporcional à constante dielétrica do isolante.

 

Condensador plano de várias camadas

 

É constituído por placas metálicas e camadas de isolante, que se alternam. As placas metálicas de ordem par são reunidas entre si e funcionam como uma única armadura; as de ordem ímpar são reunidas entre si e constituem a outra armadura. Havendo n camadas de isolante, haverá placas metálicas (fig. 101). Conforme veremos adiante, este conjunto se comporta como n condensadores iguais ligados em paralelo. A capacidade total é igual a n vezes a de cada um. Sendo s a área de cada placa metálica, a capacidade de cada condensador parcial é: . A capacidade total é: , ou
Condensador plano de várias camadas

Figura 101

Mas, é a área total do isolante. Fazendo , a fórmula anterior fica

e toma o mesmo aspecto que a fórmula .

Resumindo, podemos dizer que a capacidade de um condensador plano é sempre calculada pela fórmula , seja ele um condensador simples ou de várias camadas, mas S deve então ser considerado como a área total do dielétrico.


Condensador variável

 

É um condensador plano de várias camadas, em que as placas metálicas são semi-circulares dispostas de tal modo que os centros de todos os círculos estejam sobre uma reta (fig. 102). As placas de ordem par são fixas. As de ordem ímpar são presas a uma haste metálica que passa pelos seus centros, de maneira que, girando a haste, todas as placas de ordem ímpar giram. Desse modo se pode modificar a área S das superfícies de ordem par que ficam em frente às de ordem ímpar, e como consequência a capacidade do condensador varia.

 

condensador plano de várias camadas

Figura 102

 


c. Garrafa de Leyden

 

É constituída por um frasco de vidro, que tem encaixada externamente uma chapa metálica, e internamente, outra. A chapa interna é a armadura indutora, a externa e a armadura induzida. Existe uma haste metálica em contato com a armadura interna para que ela possa ser eletrizada comodamente (fig. 103). Neste condensador, muitas vezes a armadura interna, em vez de ser constituída por uma chapa adaptada ao vidro pode ser constituída por pedaços de metal colocados no interior da garrafa. A garrafa de Leyden é o condensador mais antigo. Tem esse nome porque foi inventada em 1746 na cidade de Leyden. É inteiramente fora de uso, porque é muito incômoda.


Garrafa de Leyden

Figura 103

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