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[] Caos em Sistemas Dinâmicos [A. P. S. de Moura;  C. Grebogi

Caos em Sistemas Dinâmicos

Alessandro P.S. de Moura;  Celso Grebogi

Instituto de Física, Universidade de São Paulo, São Paulo, SP
 

Desde o século XIX já era conhecido o fato de que a dinâmica de alguns sistemas físicos determinísticos pode ser bastante sensível às condições iniciais. No entanto, a importância e a generalidade deste fato só começou a emergir a partir do trabalho de Poincaré em mecânica celeste [1]. Poincaré foi o primeiro a analisar sistemas dinâmicos descritos por equações diferenciais ordinárias usando métodos globais e qualitativos, através dos quais o comportamento de famílias de soluções pode ser estudado. Usando este tipo de método, é possível demonstrar que, em sistemas dinâmicos autônomos (que não dependem do tempo) descritos por equações diferenciais cujo espaço de fase tem duas dimensões, o comportamento assintótico das trajetórias é simples, restringindo-se essencialmente a pontos fixos e ciclos-limite (este resultado é demonstrado através do que hoje é conhecido como o teorema de Poincaré-Bendixon). Poincaré descobriu, no entanto, que, em sistemas de maior dimensionalidade, comportamentos extremamente complexos podem acontecer. Analisando o problema dos três corpos restrito, ele demonstrou que as trajetórias na vizinhança de certas órbitas, chamadas órbitas homoclínicas, são extremamente complexas. Este resultado pode ser considerado o marco inicial da área de sistemas dinâmicos caóticos.

O progresso nesta área continuou com o trabalho de Birkhoff [2], que ajudou a elucidar em detalhes a estrutura das trajetórias perto das órbitas homoclínicas. A generalidade e importância destes resultados foram enfatizadas mais tarde pelo importante trabalho de Smale [3]. Ele demonstrou que, na região do espaço de fase próxima de uma órbita homoclínica, a dinâmica é topologicamente equivalente a um simples mapeamento do plano, conhecido como a ferradura de Smale, que pode ser inteira e rigorosamente analisado. Utilizando este mapeamento, Smale demonstrou, entre outras coisas, que perto de qualquer órbita homoclínica existe um conjunto infinito e enumerável de órbitas periódicas, com períodos arbitrariamente longos; existe um conjunto infinito e não-enumerável de órbitas aperiódicas; órbitas inicialmente próximas afastam-se uma da outra exponencialmente; e muitos outros resultados.

Os trabalhos iniciais de Poincaré e Birkhoff lidavam com sistemas Hamiltonianos, em que a dinâmica preserva o volume do espaço de fase. No entanto, Cartwright e Littlewood [4], juntamente com Levinson [5], mostraram que órbitas homoclínicas, assim como a rica dinâmica associada a elas, estão presentes também em sistemas dinâmicos dissipativos. Eles estudaram a equação de Van der Pohl, que descreve o comportamento de um circuito elétrico não-linear com dinâmica dissipativa, e mostraram a existência de órbitas homoclínicas.

Somente a existência de órbitas homoclínicas não implica necessariamente que a dinâmica assintótica (para ) seja caótica, pois as órbitas caóticas podem representar um movimento transiente. No entanto, mesmo neste caso, a presença de caos tem implicações profundas para a dinâmica. Se, por exemplo, um sistema dissipativo tiver múltiplos atratores, mesmo que cada um deles seja regular, a fronteira no espaço de fase entre suas bacias de atração pode ter uma estrutura complexa (“fractal”). Isto leva a uma grande indeterminação no estado final do sistema (ou seja, para qual atrator uma dada condição inicial irá). Este comportamento é chamado de caos transiente, e ele também acontece em sistemas espalhadores, sendo neste contexto conhecido como espalhamento caótico.

Mais informaes

[1]  H. Poincaré, “Les méthodes nouvelles de la mécanique celeste”, Paris, Gauthier-Villars et fils (1899).

[2]  G.D. Birkhoff, “Dynamical systems”, American Mathematical Society, Colloquium publications vol. , New York (1960).

[3]  S. Smale, Bull. Am. Math. Soc. , 747 (1967).

[4]  M.L. Cartwright, J. E. Littlewood, London Math. Soc. , 180 (1945).

[5]  N. Levinson, Ann. Math. , 127 (1949).

 
 
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